ведение подобных членов немедленно дает

X (h) (формула (о)) 12 + кЫ + О jh) , м п ihx X (h) (формула (6)) 12 ЛЛа + О (h) {

Точно таким же способом можно убедиться, что формула (4) дает аппроксимацию х {h) с точностью до О {Щ.

Алгоритм решения -равнения х {t) = Ах (t). Пусть А - матрица п X п. Формулы {*) и {**) останутся справедливыми, так как ряд матричной экспоненты совпадает по форме с рядом обычной экспоненты. Сохраняются, как нетрудно проверить, и формулы (1) - (5), а также доказательство теоремы 1. Это является следствием того факта, что квадратные матрицы являются элементами кольца, и потому при замене скаляра А матрицей А необходимо лишь внимательно следить за порядком сомножителей, поскольку кольцо матриц некоммутативно, и за выполнимостью операции деления, так как не всякая матрица имеет обратную. Поэтому, используя формулу (6), можно построить следуюп];ий алгоритм решения дифференциального уравпения х = Ах;

x{i + /t)e4{0Ax(0, (7)

eAt л = [12£ - QAh + АЧЦ- - [12Е + QAh + А%Ц,

причем точность аппроксимации х {t -\- h) составит О (k). Если необходимо вычислить х (t) в последовательные моменты времени t = ih, где ё = 1, 2, . . ., то расчеты сводятся к умножению полученного на предыдуп];ем шаге вектора х [t) на матрицу Л.

Поскольку формула (7) содержит операцию обрап];вния матрнцы, необходимо убедиться в том, что эта матрица - неособенная. Если матрица А устойчива, т. е. все ее характеристические числа имеют отрицательные веп];ествен-ные части, то справедлива

Теорема 2. Если матрица А устойчива, то матрица С = [i2E - 6Л/г + Ah\ - неособенная при любом 0.

Доказательство. Воспользуемся теоремой о треугольной матрице. Пусть Л= РТР~, где Т - треугольная матрица. Тогда матрица С преобразуется к виду

С = Р [i2E - т -h 2]

На диагонали матрицы [\2Е ~ QTh + Th стоят собственные числа матрицы С, равные

li = [12 -blih-{- Xihl

Поскольку при любом г Re Я<с О, то все Я,- имеют положительные вещественные части и, значит, матрица С является неособенной. Больше того, это положительно определенная матрица. Q

Если матрица А не является устойчивой, то, вообще говоря, могут существовать такие значения h, при которых обращение в формуле (7) ие существует. Однако в этом случае всегда можно выбрать достаточно малое h с тем, чтобы матрица Ц2Е - QAh -\- Ah] имела обратную. Это следует из того, что lim [\2Е - 6ЛЛ -f AVi4 = = ME при /гО.

Устойчивость вычислений- Вычисления по формуле (7) считаются устойчивыми, если все характеристические числа матрицы располагаются внутри единичного круга комплексной плоскости {см., например, [17, [181). В случае устойчивой матрицы А имеет место следующий факт:

Теорема 3. Если А -устойчивая матрица, то все характеристические числа матрицы Л = [\2Е - - QAh ЛкЦ- [i2E ~\-QAk Ah] по модулю меньше единицы.

Доказательство. Воспользуемся теоремой о треугольной форме матрицы. Пусть А = РТР~, где Т - треугольная матрица, все элементы которой, расположенные под главной диагональю, равны нулю, а на диагонали размещены собственные числа матрицы А. Подстав.чяя матрицу А в формулу для Л и воспользовавшись формулами

РЕР- = Е, (РТР-У = РТр-\ {РХР-у = РХ~р-\

получим после элементарных алгебраических преобразований

Л = Р [\2Е - %Th + [i2E + ЪТк + W] p-i.

Поскольку матрица - треугольная, то треугольными будут матрицы [\2Е - QTh + и [\2Е + 6Г/г -f

+ W]. Рассмотрим матрицу [\2Е - QTh П]~К Она будет треугольной, как обращение треугольной матрицы,

12-6V + A

12 - bXh + 5,гМ

(Здесь через * обозначены, возможно, ненулевые элементы матрицы). Отсюда сразу следует, что на диагонали треугольной матрицы {она равна произведению двух треугольных матриц) расположены числа

12 + GXjh +

12 -6X,j/i + X?a

Но все эти числа по модулю меньше единицы при любом й О в силу того, что все характеристические числа Xi имеют отрицательные веп];ественные части. О

Таким образом, все сказанное о иреимуш,ествах формулы {4) в скалярном случае сохраняется и для матричного уравнения х = Лх, по крайней мере для устойчивых матриц А.

Неоднородное уравнение. Способ получения формул типа (4), (6) остается без изменения для уравнения х {t) = = Ах (t) + Ви (t). Пусть выбрано некоторое значение 0. Разложение функций х (t к) и х (t) и ряд по степеням h имеет вид

х{< + й) = х{0-ь4-(0 + -(0-Ьх(0-Ь

hi ....

+ ir х(0 + О{П x{t) = x{t + h)~xit + h)Jrir{t-h)~

-x{t + h)-\-~x{t) + 0{h%

а на ее главной диагонали будут стоять обратные величины собственных чисел матрицы [12Е - QTh + Т%Ц (см. задачу i, § 8). Следовательно,