g i] \ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Zi

столбца матрицы В:

Умножение двух квадратных матриц одного порядка всегда выполнимо. Умножение же прямоугольных матриц выполнимо только тогда, когда число элементов в строке первой матрицы равно числу элементов в столбце второй матрицы.

Умножение матриц обладает свойством ассоциативности*.

Л (ВС) = {АВ) С.

Это свойство доказывается непосредственной проверкой результата операций справа и слева для произвольных матриц А, В, С размеров {п X ш), {т х к), {к X I) соответственно. Ассоциативность матричного умножения имеет место, таким образом, для любых, не обязательно квадратных матриц.

Из свойства ассоциативности следует, что произведение матриц А, В, С, . . ., D, записанных в определенном порядке, не зависит от способа расстановки скобок.

Непосредственпой проверкой доказывается и свойство дистрибутивности матричных операций сложения и умножения

{А В)С = АС ВС, С {А + В) = СА ~\- СВ.

Кольцо квадратных матриц. Если рассматривать квад-ХМътные матрицы одного порядка с элементами из некоторого кольца, то введенные операции сложения и умно-ясения матриц являются такими алгебраическими опера-,ями, для которых выполнены все, как следует из рас-.(мотренных выше свойств этих операций, аксиомы кольца, аким образом, справедливо

Предложение 1. Совокупность квадратных Шшприц одного порядка над произвольным ассоциативным льцом является ассоциативным кольцом относительно Матричные операций сложения и умножения. Q ; Совокупность прямоугольных матриц при п Ф т wd 1южет быть кольцом (почему?) относительно введенных операций сложения и умножения.

В дальнейшем мы будем предполагать, что кольцо К, которому принадлежат элементы матрицы (мы условились

называть эти элементы числами), имеет единицу. Тогда кольцо квадратных матриц также обладает единицей. Единица кольца матриц совпадает с матрицей, все диагональные элементы которой равны 1 *), а остальные - нулю. Эту матрицу мы будем называть единичной и обозначать буквой

i О ... О О 1 ... о

Непосредственным вычислением устанавливаются равенства

АЕ = ЕЛ = А

для любой квадратной матрицы А.

Нулем этого кольца является нулевая матрица.

Рассмотрим некоторые свойства кольца квадратных матриц:

1. Кольцо матриц некоммутативно, так как для квадратных матриц операция умножения не обладает свойством коммутативности. Например,

Если ЛВ = ВА, то матрицы А л В называются перестановочными.

2. Как и в любом -другом кольце, вводится понятие п~й степени квадратной матрицы {п - целое неотрицательное число). При этом Л = = Л. Справедливы обычные правила действий со степенями;

А А = А Л = Л *- , (Л ) = л * .

Таким образом, все натуральные степени одной и той же матрицы перестановочны между собой. Если матрицы А и В перестановочны, то для любого натурального п имеем

{ABf = Л В .

Справедлива и более общая формула: если матрицы Л и В перестановочны, то любые их натуральные степени так-

*) Так в дальнейшее будет обозначен единичный элемент исходного кольца К.

Hie перестановочны:

для любых натуральных т ш п.

Доказательство этих формул было проведено при изучении свойств кольца в § 1,

3. Кольцо квадратных матриц имеет делители нуля. Например,

нуля в кольце

Матрицы слева являются делителями квадратных матриц второго норядка.

4. Как и в обычном кольце, свойства ассоциативности сложения и умножения и закон дистрибутивности 5 спра-!11йдливы для любого числа элементов.

5. Определена и единственна операция вычитания и справедливы все обычные правила знаков.

Многочлены от матриц. Введем операцию умножения %р&триц на число. (Будьте внимательны! Числом мы назы-лем элемент исходного кольца К.)

Определение 2. Чтобы умножить число я на 1трицу А, или матрицу А на число а, нужно умножить га а все элементы матрицы А. Например,

22.

Если кольцо, из которого берутся элементы матрицы, соммутативно, то справедливо равенство аА = Аа для )бой матрицы А и любого й из К. в случае некоммута-1ВН0СТИ кольца (если, например, элементы матрицы сами Йвляются матрицами) может оказаться, что аА Ф Аа. фатите внимание, что операция умножения матрицы на 1СЛ0 и операция умножения прямоугольных матриц не дходят под онределение алгебраической операции (по-SMy?).

Ясно, что для каждой матрицы А над кольцом К и 5яких элементов а, Ь того же кольца К имеют место соот шения:

1. АЛ = \А = А;

2. OA =А0 Отп, аОтп = Отп = Отп,

г, а {ЬА) = {ab} А, {Аа) b = А {ab);