Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

Задачи. 1. Покажите, что формула

X (ft) 120 - бОЛ 4- 12ДаЛ - Ah?

аппроксимирует решение уравнения х - Лх с точностью до величин порядка О {h).

2. Докажите теоремы тппа теоремы 2 и теоремы 3 для формулы задачи 1.

3. Приведите формулу (S) к удобному для программирования виду, воспользовавшись тем, что

(((t) о -г ctif -f- at- -\- cf..fi -}- at*

при > О и if (i) О ири t < 0.

4. Упростите формулу (8) в случае u(f)=conut, воспользовавшись формулой теоремы -V так, чтобы порядок аппроксимации решения был О ((ft).



г л ABA ITI

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ

В этой главе мы приступим к изучению задач управления. Основной задачей, решаемой управляюп];им устройством, является задача обеспечения устойчивости движения управляемого объекта. Смысл этого требования в том, что объект должен сохранять работоспособность при действии различного рода посторонних возмущений. Установить, является ли движение данного объекта устойчивым даже в том случае, когда известны уравнения движения объекта и эти уравнения линейны, вообще говоря, очень сложно. Например, задача исследования устойчивости линейпого объекта, уравнение которого имеет сравнительно простой вид

x{t) (а -\- b sin t) X (t) = О,

требует уже привлечения расчетов на ЦВМ.

Осповпой темой этой главы будет прямой метод Ляпунова. Этот мощный метод исследования применим для решения широкого круга вопросов теории управления. В согласии с планом этой работы мы ограничимся рассмотрением только линейных систем и только алгебраических методов исследования вопросов устойчивости в таких системах, оставляя без внимапия имеющиеся эффективные частотные методы решения этих задач. В конце главы обсуждаются постановки задач аналитического kohciрунровання систем управления.

§ 14, Описание .линейных объектов в пространстве состояний

Определение линейной системы. Основным объектом исследования в дальнейшем будет линейная система или линейный объект . Этими словами мы будем обозначать



систему лппейиых дифференциальны\ уравнений вида

y{t)-C{t)K{t). J

В этих соотношениях х (1), а (t), у (t) - векторы размерности /г, га, р соответственно; и (t) называется входом системы, управлением, управляющим воздействием, у (t) - выход системы, вектор выходных переменных, выходная величина; х (t) - состояние системы, вектор фазовых координат, траектория движения систомы или решение (системы дифференциальных уравнений). u(t) - это что-то, что мы молубм изменять по нашему усмотрению, чем мы управляем, что мы выбираем; у (t) - следствие этих изменений, наблюдаемое на выходе системы.

Матрицы Л (t), В (t), С (t) имеют размерность п X п, п X т, р X п соответственно. Элементы этих матриц - непрерывные функции времени.

Соотношение у (t) - С (t) х (t) назовем уравнением наблюдения линейной системы или уравнением выхода.

Замечание. Уравнения выхода записывают иногда в более общем виде:

у() = бх() -VDn{t), (1)

где дополнительный член Du {t) отражает прямую связь (не динамическую) выхода со входом. Все результаты, полученные для (ЛС), легко обобщаются для уравнения наблюдения (1). Q

Если матрицы систомы (ЛС) от времени не зависят, то такая система называется стационарной.

Многие вопросы теории управления, связанные с изучением математического объекта, заданного соотношениями (ЛС), не имеют аналогов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, прежде чем изучать математические CBoiiCTBa этого объекта, необходимо ввести терминологию и соответствующие понятия, которые устанавливали бы связь этой математической модели и реальных систем унрав.ления, изучаемых инженерными дисцинлипами.

Множество значений вектора х [t] называется пространством состояний и обозначается X. Для системы (ЛС)

5 совпадает с и-мерпым пространством R\

6 Ю Н Андреев



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139