Главная
>
Управление конечномерными объектами Задачи. 1. Покажите, что формула X (ft) 120 - бОЛ 4- 12ДаЛ - Ah? аппроксимирует решение уравнения х - Лх с точностью до величин порядка О {h). 2. Докажите теоремы тппа теоремы 2 и теоремы 3 для формулы задачи 1. 3. Приведите формулу (S) к удобному для программирования виду, воспользовавшись тем, что (((t) о -г ctif -f- at- -\- cf..fi -}- at* при > О и if (i) О ири t < 0. 4. Упростите формулу (8) в случае u(f)=conut, воспользовавшись формулой теоремы -V так, чтобы порядок аппроксимации решения был О ((ft). г л ABA ITI УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ В этой главе мы приступим к изучению задач управления. Основной задачей, решаемой управляюп];им устройством, является задача обеспечения устойчивости движения управляемого объекта. Смысл этого требования в том, что объект должен сохранять работоспособность при действии различного рода посторонних возмущений. Установить, является ли движение данного объекта устойчивым даже в том случае, когда известны уравнения движения объекта и эти уравнения линейны, вообще говоря, очень сложно. Например, задача исследования устойчивости линейпого объекта, уравнение которого имеет сравнительно простой вид x{t) (а -\- b sin t) X (t) = О, требует уже привлечения расчетов на ЦВМ. Осповпой темой этой главы будет прямой метод Ляпунова. Этот мощный метод исследования применим для решения широкого круга вопросов теории управления. В согласии с планом этой работы мы ограничимся рассмотрением только линейных систем и только алгебраических методов исследования вопросов устойчивости в таких системах, оставляя без внимапия имеющиеся эффективные частотные методы решения этих задач. В конце главы обсуждаются постановки задач аналитического kohciрунровання систем управления. § 14, Описание .линейных объектов в пространстве состояний Определение линейной системы. Основным объектом исследования в дальнейшем будет линейная система или линейный объект . Этими словами мы будем обозначать систему лппейиых дифференциальны\ уравнений вида y{t)-C{t)K{t). J В этих соотношениях х (1), а (t), у (t) - векторы размерности /г, га, р соответственно; и (t) называется входом системы, управлением, управляющим воздействием, у (t) - выход системы, вектор выходных переменных, выходная величина; х (t) - состояние системы, вектор фазовых координат, траектория движения систомы или решение (системы дифференциальных уравнений). u(t) - это что-то, что мы молубм изменять по нашему усмотрению, чем мы управляем, что мы выбираем; у (t) - следствие этих изменений, наблюдаемое на выходе системы. Матрицы Л (t), В (t), С (t) имеют размерность п X п, п X т, р X п соответственно. Элементы этих матриц - непрерывные функции времени. Соотношение у (t) - С (t) х (t) назовем уравнением наблюдения линейной системы или уравнением выхода. Замечание. Уравнения выхода записывают иногда в более общем виде: у() = бх() -VDn{t), (1) где дополнительный член Du {t) отражает прямую связь (не динамическую) выхода со входом. Все результаты, полученные для (ЛС), легко обобщаются для уравнения наблюдения (1). Q Если матрицы систомы (ЛС) от времени не зависят, то такая система называется стационарной. Многие вопросы теории управления, связанные с изучением математического объекта, заданного соотношениями (ЛС), не имеют аналогов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, прежде чем изучать математические CBoiiCTBa этого объекта, необходимо ввести терминологию и соответствующие понятия, которые устанавливали бы связь этой математической модели и реальных систем унрав.ления, изучаемых инженерными дисцинлипами. Множество значений вектора х [t] называется пространством состояний и обозначается X. Для системы (ЛС) 5 совпадает с и-мерпым пространством R\ 6 Ю Н Андреев
|