Вектор x (t) пазывается состоянием системы в момент времени t, а координаты этого вектора относительно какого-либо базиса, выбранного в пространстве состояний, называют переменными состояния.

Через Т обозначим множество моментов времени, для которых рассматривается дви;кение (ЛС). Обычно Т совпадает с отрезком to t к или с полуинтервалом to< t<

пространство пар (t, х (t)) называют обычно пространством событий илн фазовым пространством [24], Точка {t, X (t)) называется событием или фазой системы (ЛС). Пространство событий представляет собой множество Т X X.

Если задана точка в пространстве событий {tf х (о)) и задано управление и (t) для t tg, то решение уравнения X (t) = А (t) X (t) -{ В (f) u (t) дается формулой Коши (см. § 10). Это решение можно рассматривать как отображение вида

х(; 0, Хо, n{t)y. ГхГхХхй-Х.

Здесь а - пространство входных воздействий. Везде в дальнейшем в качестве входных воздействий рассматриваются иепрерывпые функции времени. Поэтому в качество Q мы возьмем пространство С [tg, ti]. Напомним, что С [to, t-J - пространство ттг-ок непрерывных функций. Это пространство является бесконечномерным.

Введем еще множество мгновенных значений управляющих воздействий U. В качестве этого множества будет рассматриваться пространство R . Заметим, что в качестве множества мгновенных значений управлений мы рассматриваем, вообще говоря, неограниченное множество.

Говорят, что входное воздействие и {t} переносит, переводит, изменяет, преобразует состояние х (или событие (9- Xfl) в состояние х (t; to, Xq, u (t)) (или в событие {t; X (t; to, Xfl. и (t)}). Говоря о двилхении системы, мы будем иметь в виду изменение во времени ее состояния, т. е. функцию X {t, to, х, и (t)). Размерность линейной системы равна размерности ее пространства состояний, т. е. размерности пространства

Резюмируя сказанное, дадим опреде.ленне математического объекта, изучаемого в дальнейшем.

Определение 1, Линейной системой с непрерывным временем называется система, описываемая соотношениями (ЛС), тде X {t) G R и {t) е R , у {t) е Rp при любом t Т; А (i), В (i), С (t) - матрицы размерности п X п, п X т, р X к соответственно, составленные из непрерывных функций времени, и (t) - непрерывная функция времени. Q.

Поскольку бесконечномерные и дискретные системы здесь не рассматриваются, то в дальнейшем будем пользоваться термином линейная система или термииом линейный объект для обозначения линейной, конечномерной, динамической системы с ненрерывньтм временем.

Отметим основные моменты идеализации реальных физических систем, допуш,енные в этом определении.

1. Предполагается, что все матрицы системы Л (i), В (i), С (t) точно известны. В реальных системах это выполняется редко. Как правило, можно говорить лишь о большей или меньшей степени точности задания этих матриц, а не об их точном знании. Итак, рассматриваются только детерминированные системы.

2. Мы рассматриваем линейные уравнения. Реальные системы описываются, как правило, нелинейными уравнениями. Однако исследование линейных систем имеет важное значение но следуюш,им причинам: а) имеется много динамических систем, движение которых описывается с помош,ью линейных уравнений, - это линейные электрические цепи, механические системы, изучаемые в классической механике, линейные объекты регулирования и т. д.; б) линейная теория имеет законченный вид, разработаны достаточно эффективные численные методы решения линейных задач; в) с помощью линейной теории можно изучать нелинейные динамические спстемы в окрестности их номинальных траекторий. Таким образом, линейная теория Служит основой для изучения нелинейных систем.

3. Поскольку в качестве управляющих воздействий рассматриваются непрерывные фзнкции времени и (t) £ е С [ifl, t], то это значит, во-первых, что управляющие воздействия в системе могут быть больше любой наперед заданной конечной величины, во-вторых, что не допускаются скачки в управляющих воздействиях. В реальных системах управление всегда ограничено и часто допу-

стимы управляющие воздействия типа скачков (переключений и т. п.).

Несмотря на подобную идеализацию свойств реальных систем, теория управлепия линейными системами приводит к результатам, имеющим непосредственное практическое применение.

Понятие состояния. Вектор х (tf,) содержит всю информацию, необходимую для однозначного определения выходов системы (ЛС) в любой момент времени t в том случае, если известны входные воздействия н (t) при t tQ. Поскольку входами и {{} мы распоряжаемся, то для эффективного управления линейным обьоктом необходимо знать (уметь оцеттивать, лредсказ1)1вать, измерять) его состояние. Именно это обстоятельство положено в основу онреде.ления состояния систем самого общего вида [20, 24]. В нашем частном случае, когда состояние в момент 0 определено как полный набор начальных условий в уравнениях движения, знание состояния и входов системы однозначно определяет ее движение лишь при отсутствии помех. Если же система подвержена действию помех или если в системе имеется запаздывание, то начальные условия и входы уже не определяют однозначно движение системы (ЛС).

Рассмотрим примеры выбора переменных состояния динамических систем.

Если к механической частице (система) приложить в момент времени силу (вход), то движение частицы (выход) для t !> to нельзя определить однозначным образом, если не известны ее положение и скорость в нача.льпый момент времени. Поэтому скорость и положение являются переменными состояния этой системы.

Заметим, что переменные состояния определяются пе однозначно. Например, момент количества движения и положение частицы тоже будут переменными состояния.

В классической механике, если выбран набор обобщенных координат механической системы и известны их нро-пзводные, то движение системы при известных силах определяется однозначно. Обобщенные координаты вместе с их нроизводными определяют состояние системы в фазовом пространстве размерности 2п.

Таким образом, понятие фазового пространства классической динамики естественным образом преобразуется