174 УСТОЙЧИВОСТЬ движЕнпл ояъЕктов [ГЛ. m

§ 15. Устойчивость

Под устойчивостью состояния равновесия динамической системы понимают ее способность возвращаться в это состояние после исчезновения внешних сил, которые вывели систему из равновесия. Под устойчивостью дви-я-ения динамической системы понимают обычно такое свойство этого движения, когда малые отклонения па-тальных условий приводят к малым отклонениям от начальной траектории движения. Теория положений устойчивого равновесия динамических систем была в основных чертах завершена Лаграпжем в его Аналитпческой механике , изданной в 1788 г.

Строгое определение понятия устойчивости движения было впервые дано А. М. Ляпуновым в его знаменитой диссертации Общая задача об устойчивости движения , опубликованной в 1892 г. Предложенные в этой работе методы исследования задач устойчивости оказались чрезвычайно плодотворными. По-впдимому, не будет преувеличением сказать, что идеи этой работы в значительной степени предопределили основные результаты современной теории аналитического конструирования систем управления.

В дальнейшем, поскольку мы будем рассматривать только линейные динамические системы, то термины: движение системы, траектория движения, решение системы дифференциальных уравнений - будем считать эквивалентными. Норма вектора х (i) и норма матрицы А всегда индуцированы скалярными произведениями в евклидовых пространствах Е и Е (см. § 8).

Устойчивость движения но Ляпунову. Дадим определение устойчивости движения по Ляпунову.

Определение 1. Решение х {i), t <i оо, системы

x{t) = A (t) X (О + f {t)

называется устойчивым по Ляпунову или просто устойчивым, если для любого s О можно указать число 60 такое, что при любом х (о), удовлетворяющем условию

Цх, (О -x(gi<6.

справедливо неравенство

1 Xj (i) - X () !<; е при всех t е Иц, оо). Q

Онределение 2. Устойчивое решение х (t) называется асимптотически устойчивым, если

}\mxi{t)x{t). О

Согласно данному онределелию для любой е-окрестности устойчивого рмнения х (t) {так как эта окрестность задана при всех 0 <С то можно говорить о заданной трубке траектории спстемы), как бы мала эта окрестность пи была, всегда существует такая 6-окрестность начальных условий, что любое решение х [t), начинающееся в этой окрестности, не выйдет из е-окрестности траектории X (t) при всех t.

Для асимптотически устойчивого решения любое решепие, начинающееся в б-окрестностц начальных условий, будет асимптотически сближаться с решением х [t) при i оо. Пример просто устойчивой системы: х (t) + + X (i) = 0. Система х (i) х (t) = О, очевидно, асимптотически устойчива, а система t (t) - х {i) =0 - неустойчива.

Обратите внимание на то, что устойчивость (даже асимптотическая) решения неоднородной системы вовсе не предполагает ограниченности этого решения. Например, решение уравнения х (t) = - х (t) i - t при О Ё <С оо, которое пмеет вид х (i) = х (О)е -f- t, является асимптотически устойчивым при t оо, но неограниченным. В то же время, поскольку в определении устойчивости возмущение траектории движения задано в на-чальиый момент времени, а согласно формуле Коши вектор начальных условий х входит в решение аддитивно в виде члена Ф (t, t) устойчивость системы цели-

ком определяется свойствами переходной матрицы и справедлива

Теорема 1. Для устойчивости (асимптотической устойчивости) всех решений линейной системы

x{t) А (t) x{t) +i (t)

необходимо и достаточно, чтобы было устойчиво {асимптотически устойчиво) какое-либо (например, тривиальное X (t) = О!) решение однородного уравнения.

Доказательство. Опо сразу следует из формулы Коши п опредслепий 1, 2.

Устойчивость и переходная матрица. Таким образом, исследование вопроса устойчивости линейной неодпород-ной системы сводится к исследованию решения однородной системы, которое целиком определяется матрицей системы А (t) я имеет вид

X (i) - Ф (к /о) X (д,

где Ф (t, to) - переходная матрица, соответствующая матрице А (t).

Рассмотрим три возможных случая.

1. Ф Iq) - ограниченпая матрица в интервале [Iq, оо), т. е. существует такое число Af, что

f {к to) \<:М (t> to, i, /-1,2,..., п).

Здесь через Ф;; (t, t() обозначен г/-й элемент переходной матрицы. В этом случае из формуты х [t) = - Ф to) X {to) следует, что

I X (О ;! < пМ шах I {to) I

п условие устойтовостп выполняется, если взять, например, 6 < Bij - Тривиальное рещэнне х (f) = О устойчиво.

2. lim Ф {t, to) = 0. В этом слтчае М1трица Ф (t, t,)

ограничена в интервале to t <С оо и потому, как уже было выяснено, движе1тие устойчиво. Кроме того, из вида решения следует, что

11тх(0=ИтФ(, )хо-=0

При любом Хо- Движение асимптотически устойчиво.

3. Ф (t, tg) - неограниченная матрица в интервале to t оо. Это означает, что по крайней мере одна из функций {t, to), наиример. Фр {t, to) не ограничена в интервале tot<Coo. Возьмем начальные условия хо = . . ., Хро фО, . . ., хо 0. Тогда

и каким бы малим по модулю ни было Хро, функция x{t) будет иеограиичена. Движение неустойчиво. Q