Исследованио переходной матрицы позволяет, таким образом, решить вопрос об устойчивости системы. Однако переходную матрицу не всегда просто получить, и чаще всего необходимо вывести суждение об устойчивости по матрице А (t).

Устойчивые стационарные матрицы. Если известен спектр постоянной матрицы А, то вопрос о ее устойчивости (асимптотической устойчивости) решает

Теорема 2. 1°. Нулевое решение линейной системы X (t) = Ах (t) является устойчивым по Ляпунову, если 1) все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные или нулевые вещественные части, 2) все характеристические числа с нулевыми вещественными частями {если таковые ижются) являются простыми {не кратными) корнями минимального многочлена матрицы А, и неустойчивым, если хотя бы одно из условий 1), 2) не выполняется.

2°. Нулевое решение линейной системы х {t) - Ах (t) является асимптотически устойчивым в том и только в том случае, когда все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные вещ-ественные части.

Доказательство. Докажем только вторую часть этой теоремы, поскольку главным образом нас будут в дальнейшем интересовать асимптотически устойчивые системы. Доказательство первой части можно найти в книгах [13, 19]. Пусть все характеристические числа матрицы А удовлетворяют условию Re Xi < 0. Напомним, что для любой матрицы А существует неособенная матрица Р такая, что матрица РАР = Q имеет треугольную форму (теорема 2 § 7). На главной диагонали матрицы Q расположены собственные числа матрицы А: = Х-, Я22 = Х, . . . ., qnn = п элементы под главной диагональю равны нулю. После замены переменных z (t) = - Р~х (t) система для z (t) пмеет вид

Z (t) = p-APz (t) = Qz (t).

Запишем эту систему в развернутом виде;

il {i) = giiSi(0 + qxii (О + + Чтп (i)> Ч (0) г, Ч (i). ... q.H (О -h - - + Я2пЧ {t\ Ч (0) - 20,

4(0 - ... gwiZ (0, s (0) = 2nn.

Ия последнего уравнения следует, что (t) = ->- О

при tоо. поскольку по преднолошеипю Re < 0. Подставляя (i) в (тг - 1)-е уравнелпе и интегрируя его, найдем 2,-1 (t). Решение 2 (t) и z-i (i) подставим в (п - 2)-е уравнение и т. д. Осуществляя эту процедуру, нам придется решать тта каждом шаге скалярное уравнение вида

ZtiO - 4-/(0. ,-(0)

где / {i) О при ; оо. Решение .>того уравнения даст формула Коши

3, (О = 2.ае Ч е U n7(a)d3. и

Отсюда видно, что Zi (/) -т>- О при / оо, поскольку Ие qn <. 0. Таким образом, z, (t) ->- О при t ->~ оо прн всех i = 1, 2, . . п. и достаточность условпп теоремы доказана. Необходимость получается сразу, если предположить противное Q.

Напомним, что постоянная матрица А, все характеристические числа которой имеют отрицательные вещест- венные части, называется устойчивой матрпцей. Согласно доказанной теореме устойчивая матрица определяет асимптотически устойчивую систему.

О п р е д е л е и н е 3. Для любой устойчивой матрицы А число а > О, определенное равенством

max Re ?.j =- -а.

называется степенью устойчивости. О

Этот показатель характеризует скорость затухания переходного процесса в линейной системе.

Критерий Рауса - Гурвица. Характеристический многочлен устойчивой матрицы называют устойчивым многочленом или многочленом Гурвица. Нетрудно проверить, что если

ф (1) = Х -\- aiX 4- Яа?. + . . . -j- a.iX + а

- многочлен Гурвица, то все его коэффициенты строго положительны, т. е. fij > О при всех г = 1, 2, . . ., тг. Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться тео-

ремой Виета, согласно которой ф (X) = [[ (к - ?.), и

заметить, что если - комплексный корень, то сопряженное число Х тоже является корнем этого полинома. Поскольку Re >., <; О при всех i -= 1, 2, . . п, то все сомножители вида {X - X,). где X, - вевдественный корень, п сомножители вида {X - Xi){X - Я,), где - комплексный корень, вообще не содержат отрицательных коэффициентов. Условие положительности всех коэффициентов яв.ляется 1[соб\одимым, но пе достаточным условием.

Рассмотрим матрицу ?г X п, составленную из коэффициентов характеристического полинома ф (X) Х --

-71 1 О

3 2 ai ai Яз

0 0 0 0

называемую матрицей Гурвица. На главной диагонали этой матрицы расположены коэффициенты характеристического многочлена, начиная с ai до а. Нечетные столбцы содержат коэффициенты с нечетными индексами, а четные - с четными. Все коэффициенты с индексами, большими или меньшими 0. заменяются нулями. В каждой строке индексы располо>Е;еиы в порядке убывания.

Если задана строка коэффициентов a. fl -i . . ., Яо, tti, 1, то матрицу Гурвица можно получить, если каждую последующую строку образовать из исходной сдвигом на два такта вправо и затем выделить квадратную матрицу норядка п. так чтобы в последней строке был единственный элемент а. Для многочлена 5-го порядка имеем