Заметим еще, что матрицу Н можно строить, исиользуя лишь первые два столбца. Для построения необходимо каждые последующие два столбца заменять предыдущими, сдвигая их на одну строку вниз.

Приведем матрицу Гурвица к треугольному впду с помощью следующих преобразований, не меняющих знаков ее диагональных миноров. Вычтем из второго, четвертого, . . . столбца соответственно первый, третий, . . .

сто.лбцы, предварительно помноженные на Нетрудно вилечь, что в полученной матрпце. злементы которой мы обозначим через с,, все элементы первой строки, кроме первого, суть нули. Снова преобразуем ее, вычитая из третьего, пятого,... столбца соответственно второй, четвертый,. ..столбец, предварительно помноженные на С33/С32. В полученной матрице все элементы первых двух строк, расположенные правее диагональных, равны нулю, продолжая этот процесс далее, мы придем к треугольной матрице п-то порядка, называемой матрицей Рауса:

Гц о ..О ги ... О

... г.

L п1 п2 пп

Главные диагональные миноры Л1атрицьг Гурвица

fji 1 О

Й1 1

03 1>

fis Яз 1 аъ (li (i5

называются определителями Гурвица.

Коэффициенты, стоящие на главной диагонали матрица Рауса, связаяь! с оиределптеля\ш Гурвица соотпонге-ниями

или, что то же самое,

д1 = Гц. - Гц Газ, -1 Дп

Необходимые и достаточные условии устойчивости многочлена формулирует

§ 15] устойчивость 181

Теорема 3 (Раус, Гурвпц). Для того чтобы многочлен ф (Я) = Я + а-Х- -- . . . -f- а был устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были положительными, или чтобы были положительными все диагональные элементы матрицы Рауса R. ©

В следующем параграфе приведена схема алгебраического доказательства этой теоремы. Другие доказательства приведены в ктшгах Ц], [13].

Заметим, что рассмотренные критерии требуют определения спектра матрицы, либо знания коэффициентов ее характеристического полинома. Как та, так и другая задача могут оказаться слол,иы\н1 в вычислительном плане. Поэтому важно иметь подход, который позволил бы оценивать устойчивость матрицы, минуя вычисление коэффициентов ее характеристического полинома. Такой подход связан с прямым методом Ляпунова, которому посвящен следующий параграф.

Нестационарные матрицы. Если система - нестационарная, то задача исследования устойчивости матрицы А (t) в общем случае не может быть сведена к существенно менее сложной задачи, чем задача вычисления переходной матрицы. Исследование устойчивых нестационарных матриц связано с рядом тонки к вопросов.

Казалось бы, естественное условие Х+ (t) - h, где а Я(0 - максимальное собственное значение матрнцы А {t), не обеспечивает устойчивости нестационарной системы %. {t) = Л {t) X [t) Об этом свидетельствует следующий простой пример.

Рассмотрим пару матриц

А --

-3 О о 1

о 2 2 О

Стационарная система х (/) = Лх {t) очевидно неустойчива, так как матрица А имеет положительное собственное значение X -= i. Вместе с тем нетрудно проверить, что матрица е является матрицей Ляпунова (см. §11) и преобразование Ляпунова z [t) = ех {t) приводит систему X {t) - Лх {t) к виду

kit) [е Ае- В\ъ{1).

Поскольку х(г) не ограничено, то z [t) = ех {t) тоже не ограничено (это сразу следует из свойств матрицы

{t)f<V{t)\\x[t)f.

Поделив обе части этого неравенства на [x()p>- О и интегрируя в интервале [t, t], получим

x(0Kx(o)exp4-?. [t) dt

Поскольку в силу условий теоремы К () - *=COi имеем ж (i)О при t-oo. Система асимптотически устойчива. Q

Устойчивость приводимых систем. Важным классом нестационарных систем, для которых исследование устойчивости сводится к стационарному случаю, являются приводимые системы, для которых пмеет место следующая

Теорема 5. Для того чтобы приводимая система x{t) = А {t) X (t) была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы была устойчивой соответствующая этой системе стационарная матрица.

Ляпунова е), п полученная система по-прежнему неустойчива. Вместе с тем характеристические числа матрицы этой системы {€Лe~-\-B] (убедитесь в этом, проведя соответствующие вычисления) отрицательны и не зависят от t. Приведем простое достаточное условие асимптотической устойчивости матрицы А (t).

Теорема 4. Для того чтобы линейная система X (t) = А (t) X (t) была асимптотически устойчивой при tot <i.oQ, достаточно выполнения условия Х [t) - Л< <;О при tt <С оо, где h - произвольная положительная постоянная, А, (t) - максимальное собственное значение симметрической матрицы ]А (t) -- А {t}].

Доказательство. Согласно теореме 9 § 8 о собственных значениях симметрической матрицы, прн любом t имеет место перавенство

х {t){A (t) + А (/)] X (t) < 1+ (t) х [t) X {t). В силу очевидного тождества

4г(О it)) - 41 li = (О + (03 (О

это неравенство эквивалентно следующему: