Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

Доказательство. Согласно теореме Еругина решение приводимой системы имеет вид

x{t)P{t)e->)p-{toHQ,

где Р (t) - матрица Ляпунова, а В - постоянная матрица. Поскольку матрица Ляпунова при любых toKoo удовлетворяет условию Р (t) М, \ р- (t) Л/ а е(-*<> -при оо в силу устойчивости матрпцы В, то достаточность условий теоремы получается сразу. Необходимость этих условий немедленно получим, если предположим противное. Q

Важным частным случаем приводимых систем являются системы с периодическими коэффициентами (см. § И). Для периодической системы переходная матрица согласно теореме Флоке - Ляпунова имеет вид

ф(/. /,)

где Р (t) - периодическая матрица, а й - постоянная матрица. Таким образом, асимптотическое поведепие периодической системы определяется собственными числами матрицы В. Чтобы вычислить матрицу В, необхо димо решить уравнение

Ф {t, -h Т, Q = eST

относительно В, где Т - период матрицы А [t). Это вычисление провести совсем тгепросто. К счастью, прн нс-следованпи устойчивости этого можно и не делать. Нетрудно видеть, что ecли?иvIeeт собственные значения Я;,

то числа е будут собственными значенцямн постоянной матрицы Ф (Г -f 0? о)- о замечание позволяет сформулировать условие асимптотической устойчивости для линейной периодической системы в терминах собственных чисел матрицы Ф (Г -f t, to)-

Т е о р е м а 6. Система с периодическими коэффициентами

x{t) А it) X (t), Л (М- Г) - Л (t)

асимптотически устойчива, т. е. все ее решения стремятся к нулю при tоо, если все собственные значения матрицы Ф ( + Т, t) лежат внутри единичного круга комплексной плоскости, т. е. Я; [ <С 1 при всех i = = 1, 2, . . л. О



Необходимые и достаточные условия того, что корни характеристического полинома располагаются внутри единичного круга, можно получить из критерия Рауса - Гурвица. Действительно, нетрудно видеть, что корни полинома

располагаются внутри единичного круга тогда и только тогда, когда корни полинома

располагаются слева от мнимой оси. Поэтому для выяснения условий устойчивости периодической системы можно использовать критерий Рауса -Гурвица.

Равиомерная асимптотическая устойчивость. Уравнение X {t) = -1/t X [t), имеютцее переходную матрицу вида Ф {£, о) tjt, является очевидно асимптотически устойчивым, так как x{t)- Опри t оо. Однакоио заданному числу е> О выбор 6 > О в опроделсинн устойчивости будет зависеть от начального момента времени г: 6 = = 6 {to, е). Если число 6 > О в определении асимптотической устойчивости можно выбрать по зависятцим от начального момента времени t, то такая устойчивость называется равномерной асимптотической устойчивостью. Для равномерно асимптотически устойчивой системы оценки ее асимптотического поведения на бесконечности можно выбрать вие зависимости от начального момента времени.

Этот вид устойчивости представляет значительный практический интерес при исследовании нестационарных систем.

При равномерной асимптотической устойчивости норма переходной матрицы экспоненциально убывает иа бесконечности, о чем свидетельствует

Теорема 7. Нулевое решение уравнения к (t) = = А (t) X (t) равномерно асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда существуют положительные постоянные а, р такие, что при t выполнено условие

IФ( о) К ае~0(- >.



g 15] устой-чцпость 185

Доказательство. Достаточность условий теоремы сразу следует из неравенства

11X (О I! -1Ф п) X {U) К 1Ф ( и) 11X (to) 1 < c(e-pt- 1X (/о) I

Докажем необходимость. Пусть нулевое решение системы X (t) ~ А (t) X (/) равномерно асимптотически устойчиво, т. е. для любого е. > О найдется 6 = 6 (е) такое, что I X (t) 1 S, коль скоро ]х (to) I 6 при любом tg. Значит,

е>1х(01Ч1Ф(, го))1х(гоЖ1Ф(г, М18

ф(М!Кб - (2)

Кроме того, в силу равномерной асимптотической устойчивости по t всегда найдется такое Г> О, что

II Ф + Г, t,y) \\ 1/2 при любых tf,. Используя очевидное неравенство

1Ф1и 0!<11Ф(о 0111Ф(1- Oil

получим

1 Ф (/о + Г. f,) j] < IФ -i~nT,i{n- 1) Т) II. ..

...Ф( + 7, o)<2- .

Учитывая неравенство (2) п замечая, что 2 = е~,

- (( - (о)

получимЦФ (г, tojlb-e при всех t . Q

Если для линейной системы х (t) А [t) х (t) найдутся положительные постоянные а и Р такие, что х (t) \\ ае-0(- > при система называется экспоненциально устой-

чивой. В силу доказанной теоремы 7 экспоненциальная устойчивость эквивалентна равномерной асимптотической уст ойчивости. В формулировке теорем 4-6 требование асимптотической устойчивости можно заменить требованием равномерной асимптотпческой устойчивости. Доказательство теоремы 4 останется без пзмеиепнй, а теоремы 5 и 6 останутся справедливыми в силу свойств преобразований Ляпунова.

Задачи. 1. Вычислите максимальное собственное значение Я+ (О для матриц:

Л (О- [Се-Н-Б] и [А (t) + А-{t)],



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139