4. {а -\- Ь) А = аЛ -\- ЬА, А {а + Ъ) = Аа -\- АЬ; 5. (-1) А = - А, {- а) А = ~ аЛ,

которые непосредственно следуют из аксиом кольца.

Определение умножения матриц на числа вместе с определением натуральной степени квадратной матрицы позволяют ввести важное понятие многочлена от квадратной матрицы. Пусть

- какой-нибудь многочлен от буквы Х, коэффициенты которого tto, tti, . . ., принадлежат кольцу К. Если Л - квадратная матрица над К, то выражение

а Л + ап-И -h ... Ч- Ч- 0 = Ф (Л)

называется значением многочлена ф {к) при X = А, или просто многочленом от матрицы А.

В силу законов ассоциативности и дистрибутивности произведение двух многочленов ф (А) и (А) одной и той же матрицы всегда онределено. Однако, чтобы выполнялись обычные правила действий с многочленами, необходимо предположить, что кольцо К коммутативно. Для ассоциативного кольца, например, произведение двух многочленов от матрицы

Ф {А) = аА i-a.E (Л) = М + имеет вид

Ф (Л) (Л) = {а,А + а,Е) (М -f fi,E) =

= aPiA Ч- ахЛРо + ооМ + оРо =

= а1Лр1Л Ч- aiPo + оМ + оРо;

последнее преобразование можно выполнить в силу того, что единица в кольце коммутирует с любым элементом кольца.

Если же предположить, что кольцо К коммутативно, то сложение и умножение многочленов от матриц выполняются по правилам, справедливым для обычных многочленов. Например,

Ф (Л) Ч- (Л) - {аЕ Ч- аЛ Ч- . . . Ч- а. ) Ч-Ч- (Ро ч- + .. + Р.Л ) = = (ао Ч- Ро).Ж Ч- ( 1 Ч- Pi) Л Ч- . . Ч- ( Ч- Р.) Л , Ф (Л)-г1) (Л) = аоРо + (aoPi Ч-aiPo) Л + . + РИ

в случае коммутативного кольца К легко проверить Предложение 2. Многочлены от одной и той же матрицы перестановочны друг с другом:

{А){А) ={A){A).

Транспонирование. Пусть дана прямоугольная матрица с элементами из коммутативного кольца. Матрица, которая получается из А заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к Л и обозначается А. Если

Б дальнейшем штрихом всегда будем обозначать переход к транспонированной матрице. В частности, если, например, х - матрица-столбец, то через х будем обозначать матрицу-строку. Это обозначение мы часто будем использовать для записи компонент вектор-столбца в строку, т. е. х = [х-у, х., . . ., х], где х - столбец. \= Для произвольных матриц А, В с элементами из ком-укутативного кольца имеют место следующие правила р:ранспонирования:

{аА -Ь ЬВУ = аА + ЬВ\ {АВУ = ВА\

Где а, Ь - какие-либо числа. Докажем второе равенство. ЖЭлемент, стоящий в г-й строке и /-м столбце матрицы fMAB)\ равен элементу, стоящему в /-й строке и в г-м столб-де матрицы АВ (по определению транспонирования), т. е. авен

jiii + ctjsi + -h CtjnPnii

рде ttj - элементы матриц A, В. Но это выражение Совпадает с суммой произведений элементов г-й строки сатрицы В на соответственные элементы /-го столбца штрицы Л, поэтому {АВу = ВА.

Доказанное свойство по индукции распространяется [а любое число сомножителей. В случае произведения рех матриц, например, имеем

(АВСУ = {А {ВС)У = {ВСУА = СВА.

2fi .nnUElmAtl АЛГЬЬРЛ 1гл.

Еще раз подчеркнем, что эти правила трапспонирования справедливы для произвольных (не обязательно квадратных) матриц.

Предложение 3. Матрица, полученная при ргранспонировании произведения матриц, равна произведению транспонированных сомножителей, расположенных в противоположном порядке. О

Если матрица А равна А, то она называется симметрической матрицей.

Для любой прямоугольной матрицы А очевидно определено умножение АЛ. Более того, матрица ЛА является квадратной симметрической матрицей. Действительно, (ЛУ А по определению транспонированной матрицы, и значит,

(ЛАу = (АУЛ - ЛА.

Обратная матрица. Квадратная матрица Л над кольцом К называется обратимой, если существует квадратная матрица А , для которой выполнены соотношения

АА- = А~А = Е.

Матрица в этом случае называется обратной к А иди обращением матрицы Л.

Если обратная матрица существует, то она единственна. Действительно, пусть имеются две обратные матрицы

Л * и ЛГ\ тогда АА- = А~А = £ и ЛЛд = ЛГЛ = = Е. Умножая, например, первое равенство слева на 1, получим

AlAA-- = AiE = Al\

нотаккакЛМ = Е, имеем = Л1. Непосредственно нз определепия следует, что (Л )~* = А.

Если квадратные матрицы А, В с элементами из коммутативного кольца обратимы, то их произведение также обратимо и справедливо равенство

{ЛBГ = В-А-\ (1)

которое легко проверяется непосредственно. Так как (АВ) {В-А) = Е, {ВА) (АВ) - Е, то {ЛВу -- ВА. Формула (1) напоминает формулу для транспонирования произведения матриц. По индукции это свойст-