если

Устойчива ли матрица А (()?

2. Пусть А it) = А {t) - непрерывная ограниченная матрица и Я+ {t) ~ ее максимальное собственное значение. Покажите, что если стцествует е > О такое, что

Х+ (/) dt ? {t - (о) при любых f, tg, t to, и

то уравнение х. (f) Л (t) х (г) является ранно. ерно асимптотически устойчивым.

3. При каких значениях а, \i полиномы

ф (Я) = V + аХ + Ч- 3. i- (Я) V + aV> + 2Х + Р>. + *

уст01гчивы?

4. Является ли система

14-г

экспоненциально устохчивой?

5. Покажите, что если А (() - непрерывная матрица, ограниченная на (-оо, 4 ) то выполнение неравенства

Ф ((, io) \dt для Bzex tita

эквивалентно равномерной асимптотической устойчивости системы X (г) = 4 (О X (t).

6, Докажите равенства (I).

7. Покашите, что уравнение х (i) - А (() х ((), где

О 1

АЩ 2 , />1,

не является равномерно асимптотически устойчивым в области [(о, оо], хотя его решения и ограничены.

§ 16. Второй метод Ляпунова

Теорема Ляпунова. Второй или прямой метод Ляпунова дозволяет построить эффективные достаточные условия, выполнение которых гарантирует устойчивость репхеиий дифференциальных уравнений. Этот метод применяется при исследовании самых различных систем диф-

ференциальных уравненнй, линейных н нелинейных, в обыкновенных и частных производных. При исследовании устойчивости движения прямым методом Ляпунова задача сводится к построению некоторых скалярных функций координат системы и времени - функций Ляпунова, аналогичных функции энергии в механике. Для линейных объектов мы ограничимся рассмотрением функций Ляпунова в виде квадратичных форм. Начнем со стационарного случая. Здесь формулировку необходимых и достаточных условий устойчивости матрицы Л дает следующая

Теорема 1 (Ляпунова). Для того чтобы матрица А была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы уравнение AV VA ~ -W имело положительно определенное решение при любой положительно определенной матрице W.

Достаточность. Пусть V - единственное положительно определенное решение уравнения AV -\~VA = -W, где W - симметрическая положительно определенная матрица. Проверьте, что предположение о симметричности матрпцы W не нарувтает общности рассуждений. Для сокращения записи введем обозначения: V (t) = х (t) Fx (t), w (t) = x (t) Wx (t). Тогда в силу уравнения х (t) = Лх (t) имеем

v(t) = х {t)Vx{t) + x{t)Vi{t)x{t){AV-\VA)x{t)

- х (О Wx (t) - -w (О-

Так как матрицы W и 1/ симметричны и положительно определены, то для любого х в силу теоремы 9 § 8 имеют место оценки

Я-(1У) II xf < ш (О < Я+(ТУ) I хр, -(F)xf <г;(0<Я+(7)хр. Из этих неравенств следует, что

где к~ (W) - минимальное собственное значение матрицы Wy а к (V) - максимальное собственное значение матрицы V. Обозначим а = Х~ {W)/X (V). Тогда имеем неравенство

V [t) -av (t), а> 0.

поэтому при любом постоянном Xq имеет место неравенство

со со

х; Fxo = J xleme%dt = х {t) Wx (t) dt > 0,

которое следует из положительной определенности матрицы W. О

Приведем ряд полезных следствий, вытекающих из теоремы Ляпунова.

Следствие 1. Для того чтобы матрица А имела заданную степень устойчивости а, т. е. Re {А) -а д.гя всех i = 1, 2, . . ., п, необходимо и достаточно, чтобы для любой заданной положительно определенной симметрической матрицы W существовало бы положительно определенное решение уравнения

-~2aV + AV VA = -W.

Доказательство. Условие Re Xi {A) <C -ct эквивалентно условию Re Xi [A - aE] <C0. Это сразу следует из характеристического уравнения матрицы А. Поскольку для устойчивой матрицы [А - аЕ] должна выполняться теорема Ляпунова, подстановка в уравненио

Интегрируя это неравенство в пределах (О, оэ), получим оценку для V [t):

v{t)v (0) ехр (- О = (0) Fx (0) ехр {-at).

Из этой оценки следует, что v (t) ->~ О при а это,

очевидно, возможно тогда и только тогда, когда х {t) О ири г-> оо. Стремление к нулю любого решения уравнения X {t) = Ax{t) в силу теоремы 2 § 15 эквивалентно устойчивости матрицы А.

Необходимость. Пусть А - устойчивая матрица. Тогда по теореме 4 § 12 существует единственное решение V уравнения Л V + VA = -- при любой W. Покажем, что это решение положительно определено, если W - положительно определенная. По теореме 5 § 12 матрица V представима в виде