AV \- VA = -W вместо A матрицы [A - aE] доказывает следствие. Q

Следствие 2. В условии теоремы Ляпунова требование положительной определенности матрицы W можно заменить более слабим требованием неотрицательной определенности W при условии, что вдоль решений системы квадратичная форма х (t) Wx (t) не равна тождественно нулю при любых ненулевых начальных условиях.

Доказательство. Оно сохраняется неизменным для необходимости условий следствия. Докажем достаточность. Пусть имеется положительно определенное ревтенне V уравнения AV-г VA = -W. Тогда в силу предположения имеет место неравенство х (t) Wx (t) <сО при всех х (t) Ф О я всех t 0. Но

v{t) = -W (t) = -х (О Wx{t). Интегрируя, получим равенство

х (t) Vx(t) = х (0) Wx(0) + j x (0 Wx{t)dt.

Предпололшм, что x (t) не стремится к пулю при ос, Тогда найдется 8 Отакое, что неравенство х(t) W{x}{t)<: < -е выполнено при всех t. В этом случае

х {О Vx (t) < х (0) Их (0) - et

и при t оо выражение справа становится отрицательным. Это противоречит предположению о положительной определенности V. О

Теорема Ляпунова сводит проверку устойчивости матрицы А к ревтеиию линейного матричного уравнения. Поскольку матрица V - симметрическая, то уравнение Ляпунова эквивалентно системе п (п -f- 1)/2 линейных алгебраических уравнений. При бо.льшой размерности матрнцы А решение такой системы оказывается иногда менее трудоемким, чем вычисление характеристического многочлена матрицы А- Функции v (t) = х (t) Vx{t), где V - положительно определенная симметрическая матрица, удовлетворяющая условиям теоремы Ляпунова, называются квадратичными функциями Ляпунова.

Подытожим теперь результаты, полученные прн исследовании асимптотической устойчивости стационарной системы.

Теорема 2. Матрица Л является устойчивой тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений:

1. Все решения уравнения х (t) - Лх (t) исчезают при

t х>.

2. Уравнение AV-l- VA = - W имеет положительно определенное решение V для любой положительно определенной матрицы W.

3. Уравнение AV VA = ~ W имеет положитель. но определенное решение V для всякой неотрицательно определенной матрицы VV, такой, что квадратичная форма х (t) W X (t) не обращается в нуль тождественно вдоль любого нетривиального решения х (t).

4. Строго положительны все определители Гурвица.

5. Строго по.1ожительны все диагональные элементы матрипы- Рауса.

Геометрический смысл метода. Напомним, что всякая положительно определенная матрица V может быть использована для определения скалярного произведения в евклидовом пространстве по формуле {х, х) = х Fx. Следовательно, геометрический смысл метода Ляпунова исследования устойчивости стационарной системы заключается в том. ЧТО мы изучаем изменение расстояния ОТ движущейся точки до начала координат. Если расстояние с течением времени строго моиотоиио умеиь-щается, то система асимптотически устойчива. При таком движении функция х (t) Vx (t) = v {t, x) при каждом значении времени может быть интерпретирована как некоторая замкнутая выпуклая поверхность {и-мерный эллипсоид), причем, если t- <; Ц, то выполнено неравенство х (i) Vx (]) > х (з) Vx {у. Это неравенство соответствует тому, ЧТО поверхность, соответствующая большему значению времени, заключена внутри поверхности, которой соответствует меньшее значение времени.

Функции Ляпунова иестациоиарной системы. В прямом методе Ляпунова близость х (t) к началу координат определяется с помощью функции Ляпунова v {t) = - х {t) V (х) {t). Если величина v (t) мала, то будет мала и величина х (г) I и точка х (t) будет близка к началу координат. В нестационарном случае функция Ляпунова, вообще говоря, зависит явно от времени. В этом случае знако-определенная функция v{x, t) в обычном попимании может

сделаться малой по модулю но за счет близости х (t) к началу координат, а за счет изменения времени t. Так, например, функция v (х, t) ~ ес (t) в обычном смысле - положительно определенная: V (t) = > О при всех t и обращается в пуль только при х (t) = 0. Однако судить о близости точки X (t) к началу координат по этой функции нельзя, так как при достаточно больших значениях t за счет уменьшения множителя е она будет меньше любого наперед заданного положительного числа е при любом конечном значении х (t). Поэтому в нестационарном случае необходимо специально определить класс квадратичных нестационарных функций, которые решали бы вопрос об устойчивости системы.

Определение 1. Вещественная непрерывная функция V (х (t), t) = х (t) V (t) X (t) называется положительно определенной, если существует положительная постоянная а такая, что при всех t выполнено неравенство

v{x {t),t)>a\\x{t)l:>0.

Функция V (х (t), t) называется отрицательно определенной, если найдется а> О такое, что

v{x{t). 0-allx(Oll<0

при всех t. О

Теперь мы определим квадратичную функцию Ляпунова в нестационарном случае.

Определение 2. Положительно определенная функция V (х, t) = х (/) V (t) X (t) называется квадратичной функцией Ляпунова для системы х (t) = А (t) х (t), если вьшолноны следующие ус:[овия:

1. Сут;ествует а> О такое, что

г:(х,0ахр.

В этом случае говорят, что функция v (х, t) имеет бесконечный высший предел.

2. Производная но времени Ь (х, t) в силу уравнений движения является отрицательно определенной функцией, т. е. существует 7> О такое, что

0<-Т1х1Р<0.О

Существование квадратичной функции Ляпунова эквивалентно для линейной системы экспоненциальной устойчивости. Об этом свидетельствует