Задачи. 1. Докажите, что положительно определенное решение V уравнения

AV-{- VA + 2a.W= О

(где W - симметрическая положительно определежжая матрица и с !> 0), удовлетворяющее условию F < ТУ, существует тогда и только тогда, когда вещественные части собствелжых чисел матрицы А меньше величины -а.

2. Докажите, что если уравнение к (t) = А (t) х (() равжомер-

но асимптотически устойчиво и интеграл

\da существует.

то все решежия уравнежия х (t) = А (t) х (t)i (t) ограничены. 3. Докажите, что для устойчивости многочлена

необходимо и достаточно выполжежие условий; а, а, Яд О,

а> 0.

4. Вычислите функцию

для системы х {t) =

Ляпунова

- еЛех (г), предполагая, что - периодическая матрица, а матрица А F устойчива. Воспользуйтесь тем фактом, что если система х {t) = А (t) х (t) экспожеициальжо устойчива и х (t) Q (t) X (t) - соответствующая функция Ляпунова, то zP(i)X XQ (t) Р (t) ъ будет функцией Ляпунова экспоженциальио устойчивой

систьш Z (I) - \Р (t) А (t) Р (i) -f Р (!) Р-1 (f)l Z (J), тде г {t) = = Р (() X (() ~ преобразование Ляпунова.

5. Докажите, что если А (t) имеет период Т и система х (t) = = А (t) X (t) эксионеициально устойчива, то существует положительно определенная матрица V (t), которая имеет период У, а xV (t) X является функцией Ляиунова для к (t) = А (t) х (t).

6. Покажите, что многочлен (-l)** \ В - ХЕ \, где

совпадает с многочленом ajX~-{- . . . -{-а- = if (X) тогда

и только тогда, когда

Дз , Дг зДг

, . . . , Or =

Ь1-Д1,б2 = -д7 .Ьз= дд,-

г = 4, 5, . . . , п (Aj - определители Гурвица полинома ф (X)).

Дг-2Дг-1

7. Рассмотрите положительно определенную матрицу

V = di&g\l[bi,l[bi,...,bi, Ьг *=1 *=1

где bi определены в условии задачи 6, и покажите, что

4- (О (01 - - В (О X (О - 2Ьпх1

Воспользовавшись этим фактом и следствием 2 теоремы Ляпунова, докажите критерий Рауса - Гурвица. 8. Могут ли матрицы

rsin t О О sin t

t - cos f

COS t t

соответствовать квадратичным функциям Ляпунова?

9. Являются ли положительно определенными функции

1) v (х, t) xf-l--i-

§ 17. Функции Ляпунова и оценка качества переходного процесса

Оценка длительности переходного процесса. Пусть матрица А устойчива, а F - положительно определенное решение уравнения AV VA = -Е, где Е - единичная матрица. Запишем неравенство теоремы 9 § 8 в виде

<-(ог<Щ. (1)

В силу уравнения AV VA = -Е имеолМ {t) - {х{t)Vx{t)) = -\\x{t)f,

и наше неравенство принимает вид

х- (V) V / 1+ (У)

или, домножая на , имеем

dt dv dt

Интегрируя это неравенство, получим

V (0) ехр {-til- (F)) < г; (О < (0) ехр {-til (F)).

Воспользовавшись теперь неравенством (1), получим оценку нормы вектора х (t) вдоль траектории движения:

}-{V,

Пользуясь этим неравенством, легко оценить время перехода системы из любого заданного начального состояния Х(, внутрь е - окрестности начала координат. Действительно, пусть X (0) = Xq, а I] X (О Р е. Получим оценку для времени переходного процесса t. Из (2) имеем

Г *

I- (V)

откуда сразу следует

(F)lD

л- (V)

Хд]Хо

Таким образом, если известна функция Ляпунова х (О Fx (t), то но заданному начальному состоянию системы Х(, можно, не решая уравнений системы, полу-Ч1ггь оценку для длительности переходного процесса, приводящего систему в начало координат.

Оценка квадратичного отклонения. Рассмотрим уравнения движения устойчивого стационарного объекта X (t) = Ах (t). В § 12 показано, что величина

J 5 x{t)Wx{t) dt,

где W - положительно определенная матрица, может быть оценена по формуле

J = х (0) Fx (0).

где V - положительно определенная матрица, которая является решением уравнения Ляпунова

AV VA = ~W.

Таким образом, знание функции Ляпунова позволяет оценить среднеквадратичное отклонение траектории движения от нуля, не решая уравнений объекта.

Обсуждение. Резюмируя наш краткий обзор прямого метода Ляпунова, отметим следующее.