Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

1. Второй метод Ляпунова является эффективным инструментом исследования устойчивости движения и характера переходного процесса в линейных объектах. Для проведения такого исследования не требуется решения уравнений объекта,

2. Если можно найти функцию Ляпунова, то метод становится конкретным инструментом, позволяютцим исследовать динамику управляемого объекта. В линейном стационарном случае это всегда можно сделать, решив линейное матричное уравнение Ляпунова.

3. Уже в формулировке второго метода содержится идея о придании системе заданных свойств. Правда, эта идея выражена пока косвенно. Именно, система устойчива, если можно найти (построить, угадать) функцию Ляпунова, которая решает вопрос об устойчивости. Поскольку эта функция имеет ясный геометрический смысл и, кроме того, поскольку с помотцью этой функции можно количественно оценить основные черты переходного процесса, то задачу конструирования системы с заданными свойствами можно формулировать так: выбрать структуру системы, или какие-то элементы этой структуры, имеющиеся в нашем распоряжении (например, цепи обратной связи), таким образом, чтобы замкнутая система обладала заданной функцией Ляпунова.

Численное решение уравнения Ляпунова. Рассмотрим задачу численного решения уравнения AV VA = -W для случая, когда матрица А устойчива, а матрица W неотрицательно определена. Согласно теореме 5 § 12 решение уравнения Ляцунова в этом случае можно представить в виде

V =1 eWedt. о

Воснользуемся для численного определения этого интеграла формулой прямоугольников, тогда

со со

Для вычисления матричных экспонент используем алгоритм § 13. Тогда

eAh = д [\2Е 6М + ?iMl-412£ + ША + ЬАЦ.



Отсюда следует, что

gAhn

И поэтому формулу для V можно переписать так:

F= 2 h[W + AWА+ AWA+ ... +AWA+ ...].

Обозначим частичные суммы этого ряда через F. Тогда нетрудно видеть, что можно вычислить, пользуясь следующей рекуррентной формулой:

Уи.1=АУ,А + 1\, /. = 1,2,

причем Vi = hW А hWA.

Регпение уравнения Ляпунова будет пределом частичных сумм Ff;, т. е.

F-lim Fft.

Алгоритм решения уравнения Ляпунова состоит из следующих шагов:

1. Выбираем h:> 0.

2. Вычисляем матрицу

Л = [\2Е - ЬНА + hAn-4i2E + QUA +

3. Вычисляем матрицу Fj = /г [W -\~ AWA],

4. При /с = 1, 2, . . вычислим

F, = A2F,A2 + F,.

Величина h должна выбираться так, чтобы обеспечить достаточную точность вычислений. В работе [58] рекомендуется значение h выбирать по формуле

, 1

~ 200 I Х+ {А) I

где (А) - доминирующее собственное значение матрицы А, т. е. Я; (Л) < (А), j = 1, 2, . . ., ft.

Заметим, что алгоритм является устойчивым при любых значениях h, поскольку, как было показано в § 13 (теорема 2), все собственные значения матрицы Д ио модулю меньше единицы.

Требуемый объем памяти машины при этом алгоритме составляет Ап слов. Время вычислений при больших п



можно оценить но формуле [58] (2,ЗА; + 4)п.р, где р - время операции умножения, к - число итераций, используемых при вычислениях.

Задачи. 1. Оцените время, которое система к (t) Ах {t) с устойчивой матрпцей

О Л = О

. - 1

попадет на единичную сферу -ки X (0) [3, 5, 7].

2. Оцените величину

1 О

О 1 -3 -3 зт + л; 1 из начальной точ-

J = x{t)x{t)

для движения системы задачи 1 из точки = [10, 2, 1J в начало координат.

3. Составьте прохрамму для ЦВМ решения матричного уравнения Ляпунова, пользуясь принеденныи в тексте алгоритмом, для случая - 4.

4. Для системы X (() - -Лх (() Ьн (t), где

0 1-

.0 0,

выберите вектор к = [к, к] так, чтобы на решениях системы (г) ~ [А - Ьк X (() достигала минимума функция

/ x{t)x{t)dl. о

Чему равна оптимальная функция Ляпунова?

§ 18. Постановка задач управления

Обсу;кдение вопросов устойчивости вплотную подводит нас к постановке задач аналитического проектирования систем управления.

Следующие основные ситуации характерны для задач синтеза управляемых линейных конечномерных объектов.

1. Задано желаемое соотношение между входными и выходными величинами и {t) и у (t). Требуется выбрать структуру системы (матрицы А, В, С) таким образом, чтобы получить .это соотношение.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139