204 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ [rj. Ill

СВОЙСТВ всей совокупности решений уравпе71ий объекта. Поэтому методы аналитического конструирования, регуляторов по суш,еству совпадают с методами исследования устойчивости решений дифференциальных уравнени/и. Так, например. функция Ляпунова позволяет оценить все существенные ларактеристики переходного процесса, и поэтому задачу проектирования регулятора, обеспечивающего стабилизацию заданного программного движения объекта, можно формулировать как задачу выбора такой обратной связи, чтобы матрии,а замкнутой системы А Соответствовала заданной функции Ляпунова V.

ГЛАВА IV

ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

В этой главе исследуются свойства линейных обратных связей в управляемых системах для случая, когда все переменные состояния могут быть измерены и поданы па вход системы с соответствующим коэффициентом усиления. Подробно будет исследована лишь задача о регуляторе состояния линейной системы. Основной результат решения этой задачи заключается в том, что для управляемой системы можно выбрать закон управлеиия, обеспечивающий произвольно хорошие динамические свойства замкнутой системы (§ 23). В § 22 мы подробно обсудим вопросы преобразования координат в пространстве состояний и введем понятие канонических представлений линейных стационарных систем в пространстве состояний. При этом будут введены две канонические формы представления систем, имеющих много входов и много выходов.

§ 19. Управляемость и достижимость

Понятие управляемости. Первый вопрос, который возникает при исследовании задачи регулирования, состоит в следующем. Если система находится в некотором начальном состоянии Хо, то существует ли непрерывное управляющее воздействие и (t). которое переводит систему в состояние х Ф Xq за время -

Прежде чем обсудить этот вопрос с формальной точки зрения и ввести соответствующие понятия, рассмотрим примеры, показывающие, что этот вопрос не является тривиальным.

Рассмотрим электрическую цепь на рис. 19.1. Переменной Состояния этой системы будет напряжение на емкости С, которое обозначим через х {t). Если х {to) = О, то.

1ГЛ.; IV

очевидно, X {t) =0 при всех tto вне зависимости от входного воздействия и (t). !

Входное управляющее воздействие не оказывает влияния на переменную состояния, поэтому про такую систему говорят, что она неуправляема в момент времени to.

ait)

Рис. 19.1.

В электрической цепи на рис. 19.2 две переменные состояния Xj, равны напряжениям на емкостях. Входное воздействие - напряжение на входе и {t) - влияет иа обе неременные состояния. С помощью входного воздействия можно любую из двух переменных состояния

\хЛ}

,1

Рис. 19.2.

свести к .любому значению, но нельзя привести к любому значению состояние системы - вектор (л х. Действительно, если х [to) = Х2 [to) = О, то независимо от и (t) имеем T-i (t) ~ (t) при любых г, и, например, в состояние Xi (fj) =1, Xi (ti) = о попасть нельзя. Поэтому эта система тоже неуправляема.