±{t) = В {t) и {t), X {t ) = X

X (t) - д-мерный вектор состояния, В (t) - матрица размеров {п X т). Предположим, что х {to) и В {t) известны, и поставим задачу выбора такого управления и {t), которое обеспечивало бы в момент времени t = t to вы-полневиие условия х (f-,) = Xj.

Интегрирование уравнения движения системы дает

{h)-o-\\ B{t)u{t)dt,

\ведем теперь определение свойства управляемости, пределение 1. Событие {Iq, х) линейной система

± (О = A{t)x{t) + В {t)u{t)

называется управляемым относительно точки х, если существуют момент времени Iq и управление и {t),

оиределенное на интервале t fi, которое переводит событие {tff, Хо) в событие {t, Xj). ©

Обычно нас будет интересовать управляемость относительно начала координат: Xi = 0.

Определение 2. Линейная система называется управляемой в момент времени t, если каждое событие (ffl, х), где to фиксировано, а х S X, является управляемым. Если же момент времени не упоминается, то эти свойства должны выполняться при всех tf,. Q

Определение управляемости построено таким образом, чтобы оно описывало необходимые и достаточные условия Существования регулятора в линейной системе. Напомним, что цель регулятора состоит в том, чтобы перевести систему из произвольного начального состояния Хд в некоторое требуемое состояние х, обычно совпадающее с началом координат.

Для линейной системы критерий управляемости формулируется с помощью свойств некоторого линейного оператора (матрицы).

Управляемость системы с нулевой матрицей Л. Рассмотрим простейший случай, когда матрица А (t) в уравнении системы равна нулевой матрице. Тогда динамика системы задана уравнением

ЗаметиА!, что выражение

L{\i) B{t)u{t)dt (1)

можно рассматривать как линейное преобразование, которое ставит в соответствие каждому элементу U [t] пространства [0, ti] элемент пространства Ф>рмально

Поскольку нужно выбрать управление и (t), которое удовлетворяло бы условию

то, очевидно, если х - Хд лежит в области значений линейного преобразования L (и), тогда желаемый перевод системы в Xi возможен. В противном случае - нет. Чтобы сформулировать эту задачу в общем виде, введем соответствующие определепия.

Если В (t) - матрица п X т, составленная из непрерывных функций времени, определенных на интервале 0 то преобразование L: С [Iq, t] IX , определяемое формулой (1), является линейным преобразованием,

Говорят, что Xi принадлежит области .значений этого преобразования, если существует элемент щ (t) в пространстве [t(i, tjj такой, что

X(Ui) = 5 B(t)ux{t)dt - Xi-

Таким образом, чтобы проверить, является ли состояние управляемым, необходимо установить, лежит ли это состояние в области значений оператора L (н), преобразующего бесконечномерное пространство в конечномерное. Этот оператор не может быть записан с полнощью конечной матрицы, и проверка названного условия затруднительна. К счастью, можно построить линейное преобразование, отображающее ?г-мерное пространство в й-мерное, область значений которого в точности совпада- оо

ет с областью значений оператора L (и). Это построение I формуАирует следующая

Л е ц м а. п-вектор лежит в области значений оператор

L(u) - 5 B{t)\x{t)dt

тогда и только тогда, когда он принадлежит области значений линейного преобразования

W{to, h) I B{t)B{t)dt, (2)

Необходимость. Если range W (fo, i), то существует вектор Zj такой, что W {Iq, -= х. Определим ц [t) по формуле U (t) = В {t) Zj, тогда

\ B{t)u (t) dt = В {t) В {t) dtzi.

ta to

Достаточность. Если x не лежит в области значений оператора W {t, ti), то существует вектор такой, что \V (fo, ti)x = О и одновременно xSi Ф 0.

Можно указать, например, следующий способ построения вектора Xg. Так как W {tg, ti) - симметрический оператор, он расщепляет пространство R** в прямую сумму

Rn X - range W {t, О ф кег W {t,

Пусть размерность ядра W {to, tj) отлична от нуля и пусть г - размерность области значений W {Ь, ti) {г равно рангу матрицы W), Выберем в R* базис Oj, е, . . ., е, . . . - . ., такой, что векторы е, е, . . ., Сг лежат в области значений W {to, ij). Пусть х не лежит в области значений W {tff, ti) и его представление в выбранном базисе имеет вид

xi - iCi Оава -Ь ... -Ь а,е + ... +

причедг аг. ctr+i, к-з. . . ., а не все равны нулю. В качестве вектора х., можно взять, например, вектор

Хз - Яг+ier+i + г+звг+г -Ь .. - -г Vn-