Ясно, Что Ха Ф о, но предположению, и кроме тго,

XsXi = -Ь г+а Ч- ... -f- п > 0.

Продолжим доказательство. Пусть вектор Xj rang П(05 i) и одновременно является управляемым. Из упрарляемости Xi следует, что существует п (f) такое, что

\ B{t)ux{i)dtxi,

тогда

5 хВ (t) щ (t) dt = XaXi Ф О,

Так как (f) непрерывна, то из

X2W{to, h)x., - $ II5 {t)x.fdl О

следует, что B{t) х = О при всех t t t, а это противоречит условию и

5 xB{t)щ{t)dtфO. О

Следствие. Управление и (f), которое переводит состояние системы х {t) = В {t)u (t) из Хо при t t в Xj при t = fl, существует тогда и только тогда, когда вектор Xj - Xfl лежит в области значений линейного преобразования (2).

При этом одно из управлений, осуществляющее этот перевод, имеет вид и {t) = В {t)z, где z является любым решением уравнения

W {to, ti) Z = Xi - Xq.

Доказательство. To, что управление u (t) = В {t) z переводит состояние Xp в Xi, проверено при доказательстве необходимости условий леммы. Об-

ратно. сли управление и (t), переводящее Xq в Xi, существует, Vo вектор Xj - Xq принадлежит области значений линейного преобразования (1) в силу формулы Коши. Но по данной лемме вектор (хд - Xq) тогда и только тогда прднадлежит области значении этого преобразования, когда он лежит в области значений преобразования (2). О

Критерий управляемости. Перейдем теперь к линейной системе общего вида, когда Л (t) ф 0. Здесь результат, аналогичный только что приведенному следствию леммы, формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1 (критерий управляемости). Длл линейной системы

±{i) - Л it)x [t] + В (О U (/)

тогда и только тогда сугцествует управление п (/). которое ncpeei дат. систему jij состс.чния х при t = в состояние Xi при t t-i to- когда вектор х - Ф (t, t) х принадлежат обгасти .тпении тнейного преобраюеа-ния

W [и, h) - \Ф (fo> t) В (О В [t] Ф {to, t) dt. и

Более того, если х - какое-либо решение уравнения W{to, ti) Х=Хо~ Ф (0, 01,

пю U (t), заданное формулой и (t) = ~В {t)Ф {Iq, ti)x, является одним из управлений, обеспечивающих указанный переход.

Доказательство. Рассмотрщц линейное преобразование уравнений системы с помощью замены переменной Z (О = Ф (0, Ох (О- Тогда x{t) Ф {t, to)7. (t) и Ф (t, и) Z (О + Ф {t, g z{t) = A (£)Ф (f, to) {t)B (t) u {t), HO Ф {t, Iq) = A {1)Ф {t, t(,) HO свойству 6 переходной матрицы. Значит,

Ф [t, to)i (t) - В {t)u{t). Умнолая это равенство слева на Ф {to, t), получим Z (О = Ф {to, t)B {t)u{t).

Из предыдущей леммы известно, что множество значений, которые может принимать вектор z (fj) - z (to), принад-лежит области значений матрицы

IV {и, h) Ф {to, t) В {t) В (О Ф (0, t) di. h

Чтобы завершить желаемый переход, потребуем, чтобы

Z (0 - Z {to) = Ф {to, tl) Xi - Ф {to, to) Хо = Ф {to, ti) Xi - x .

Отсюда следует, что желаемое преобразование возможно тогда и только тогда, когда [х - Ф {to, t) Xjl лежит в области значений W {to, i). Из следствия предыдущей леммы вытекает, что одно из управлений, обеспечивающее заданное преобразование системы, имеет вид

и(/) -В {t)Ф {to, t)x, где Хф удовлетворяет равенству

W {to, Ох* Хо - Ф {to, tx)Xi.

Следствие. Если при некотором to и любых t-i матрица W {to, tj) имеет максимальный ранг, то линейная система управляема. Q

Матрица W {to, ti) играет важную роль в теории управления линейных систем. Основные свойства этой матрицы содержит следующая

Теорема 2. Матрица W, определенная в формулировке теоремы 1, обладает следующими свойствами:

1. W {to, tl) - симметрическая матрица.

2. W [to, fl) неотрицательно определена для *i to-

3. W {to, t) удовлетворяет линейному матричному дифференциальному уравнению

W {t, tx) = Л {t) W {t, tx) + W {t, tx)A [t) - В m {t). W {tx, tx) 0.

4. W {to, tx) удовгетеоряет функциональному уравнению

W {to- tx) = W {to, 0 + Ф (to, t)W {t, tx)Ф {to, t).

Доказательство. Свойство 1 сразу следует из определения. Д.ля доказательства свойства 2 рассмотрим