Отсюда очевидно zW {to, fi)zO для всех действительных z. Для доказательства свойства 3 достаточно вычислить производную функции W {t, tj) по t. Используя правило Лейбница, имеем

Ф {t, 6) В (a) B (6) Ф {t, 6) do =

-B (0B(0 + \ 4)=

= -B{t) B (t) + л (0 5 Ф ) в (a) B (0) Ф (0 3) do +

г it

4- 5 Ф (f, 3) Б (g) (б) Ф о) doA (t). t

Используя это соотношение, легко проверить справедливость дифференциального уравнения свойства 3. Граничное условие очевидно выполняется по определению матрицы W {to, tj).

Чтобы доказать свойство 4, представим интеграл в определении W как сумму двух интегралов

W {to, fl) - I Ф {to, о) в {0) В {о) Ф {to, о) do + h

-Ь 5 Ф (0, 3) В (0) В (0) Ф {to, 0) do

И (fo, О + Ф (0, t) \ Ф {t, 0) В {0) В (0) Ф {i, 0) doФ {to, t).

произвольный постоянный вектор z. Тогда zW {to, h) z - 5 {to, с) в (а) В (0) Ф {to, 6)zde

\\\В {б)Ф{(о, o)zf dc.

Из этого равенства сразу следует функционально уравнение свойства 4, если воспользоваться определением W{t, t,).0

Следствие. С расширением области интегрирования ранг матрицы W (jEq, t-i) не убивает.

Доказательство. Так как W {tf ti) неотрицательно определена, то

xPF (0. i)x > О, для любого xeR .

Пусть при некотором ti имеет место строгое неравенство xW{tQ, i)xO. Отсюда сразу следует, что W{tQ, ti) j >0, и значит, ранг матрицы W {ta, к) = п. Для любого t к имеем

W {t t) = W {to, tx) 4- Ф {to, tx)W{tx, t)Ф {to, tl).

Первая матрица справа положительно определена, вторая неотрицательно определена, значит, их сумма положительно определена и ранг W {to, t) п. Q

Управляемая система была определена как система, которая может быть с помощью соответствующего управляющего воздействия переведена из произвольного начального состояния в начало координат или в некоторую точку пространства состояний. В некоторых случаях полный вектор состояниях (i) не доступен для измерения. В качестве выходных величин системы имеются лишь отдельные компоненты вектора состояний, нли линейные комбинации его компонент. Тогда интересно исследовать управляемость системы по отношению к выходной величине y{t). Нетрудно видеть, что решение вопроса об управляемости системы по отношению к ее выходной величине не представляет дополнительных трудностей, так как выход системы связан с ее состоянием с помощью алгебраического (а не динамического) соотношения у {t) = С {t)x {t). Следующая теорема содержит необходимое обобщение критерия управляемости.

Теорема 3. Управление и {t), Kojnopoe переводит выход системы (ЛС) в точку у при t = tx to, существует тогда и только тогда, когда Ух - С {tx)Ф {tx, to)o лежит в области значений линейного преобразования

С {tx)0 {tx. to)W{to, tx).

Доказательство. Пз теоремы 1 известно, что каждое управляемое при t - tx состояние х удовлетворяет

равенству

Ф {to, ti)xi - Хо - W{to, Ox*,

п тедовательно, может быть записано в виде

xi = Ф (fl, о) Uo - W {to, ti) xI.

Это означает, что любое управляемое значение у (tj) = jj имеет вид

= С ()Е1)Ф (1, to)xQ - С {tl)Ф ( 1, (о)Ф {to, h)-

Отсюда сразу следует, что для того, чтобы можно было достичь некоторое yj, нужно, чтобы вектор У1 - С {ti) Ф (1, to) Xq лежал в области значении оператора С (О Ф {t, to) W {to, о- о

Матрицу W {to, tj) называют иногда грамианом управляемости. Дело в том, что структура этой матрицы напоминает структуру матрицы Грама для системы векторов R-мерного пространства. Следуюи1;ая теорема, доказательство которой оставляем читателю, поясняет использование этого термина.

Теорема 4. Пусть ii (t), i = 1. 2, . . п,- элементы пространства [to, il- Пусть, дал.ее, F {t) - матрица размером п X т, строками которой являются 1 (Oi г - 1, 2, . . ft. Определим матрацу

W{to,ti)lF{t)F{t)dt.

Векторы fj, fg, . . ., f линейно независимы на Uq, tj] тогда и только тогда, когда {п X п)-матрица W {to, ti) - неособенная. о

W {to, ti) называют грамианом системы функций

Следствие. Если система х {t) = Л {t)x {t) -Ь + В {t)u {t) управляема при некотором t, то строки (ft X т)-матрици Ф {to, t)B (t) линейно независимы.

Замечание. Грамиан управляемости W {to, tj) совпадает с матрицей V {to, t-), определенной в § 12 с помои1;ью уравнения (3), в том случае, если в этом уравнении положить W (t) = В {t)B (О- Вспомните, какой физический смысл имеет матрица V {to, ti). 0