во легко распространяется на любое число сомножителей. Справедливо

Предложение 4. Обращение произведения матриц равно произведению обращений сомножителей, расположенных в противоположном порядке. О

Для каждой обратимой матрицы А наряду с натуральными степенями А = А = А, А = АА,. . . . можно рассматривать целые отрицательные степени, считая по определению

2 - Л-1 Л-

А-А-, А - А-А-А

Из этого определения и определения обратной матрицы следует, что нравила действий со степенями

Л Л = А

{А ) = А

справедливы для любой обратимой матрицы при любых целых (не обязательно положительных) числах т, п.

Рассмотрим теперь связь операций транснонирования и обращения. По правилу транспонирования произведения двух матриц имеем

(ЛЛ-*) = (Л-Л) = (Л-)Л - Л (Л-1) = Е. Отсюда следует, что

Таким образом, при транспонировании обратимой матрицы получается снова обратимая матрица.

Клеточные матрицы. Разобьем какую-нибудь матрицу А системой вертикальных и горизонтальных прямых иа части. Эти части можно рассматривать как матрицы низших порядков, из которых сама матрица Л построена как из элементов. Они называются клетками матрицы А, а сама матрица Л, разбитая определенным образом на клетки, называется клеточной матрицей.

Одна и та же матрица может быть разбита на клетки различными способами. Например,

Удобство разбиения на клетки состоит в том, что основные операция гтад клеточными матрицами соверигаются по тем же правилам, как н над обыкновенными.

В самом деле, пусть некоторая матрица А какнм-то способом разбита на клетки Aifi

An Ai2 . . . Ащ

Умножая все клетки на число а, мы умножим на а все элементы матрицы Л. Следовательно,

аАц аАп . . аЛг

аА =

а Л,

Пусть в - какая-либо матрица, разбитая на такое же число клеток, что и А:

Вп Вп ... Bin

Предположим, кроме того, что соответственные клетки Л4атриц Л и j? имеют соответственно равные числа строк и столбцов. Чтобы сложить матрицы А и В, надо, согласно определению, сложить их соответственные элементы. Однако то же самое произойдет и в том случае, если мы сложим соответственные клетки этих матриц. Поэтому

Л Н-В

All + Вц Аш + 12

Лщ + 1

.-ml-f-mi Ajn2-{-B-rni

А-тп ~h В,

Перейдем теперь к умножению клеточных матриц. Рассмотрим матрицы

пР J

разбитые на клетки Л, Bj/g таким образом, что число столбцов клетки Aij равняется числу строк клетки В (Ё = 1, 2, . . ., т, 7=1,2,.. ., п, /с = 1, 2, . . р). При этом условии выражения

CiK ~ АцВхц + AiBijc -\~... -f- АгтВпк

§ 2]

матрицы и др-;йствия над ними

имеют смысл. Легко показать, что

Си .. Cip

АВ -

Т. е. что матрицы, разбитые надлежащим образом па клетки, можно перемножать обычным путем.

Квадратные матрицы чаще всего приходится разбивать на клетки так, чтобы диагональные клетки также были квадратными. Если две квадратные матрицы разбиты на клетки таким образом, что их клетки, стоящие на диагонали, - квадратные и размеры соответствующих диагональных клеток совпадают, то это разбиение удовлетворяет как условиям, при которых возможно поклеточное сложение, так и условиям, которые необходимы для возможности их умножения в качестве клеточных матриц. Клеточная матрица вида

An О

О О

где Aix, Л22, . . ., A n ~ квадратные клетки, а О - нулевые матрицы соответственных размерностей, называется клеточно-диагональной. Вместо этого говорят также, что А распадается на части Ai, А22, , Ann (или А является распавшейся матрицей), или, что А есть прямая сумма матриц Ац, Л. . ., Л . Символически:

А = А

Операции над распавшимися матрицами приводятся к операциям над их диагональными клетками. Отсюда следует, что если ф {X) - некоторый многочлен ш А - кле-точно-диагональная (распавшаяся) матрица, то

Ф(Л) =

ф (Лаг)

Ф {Апп)

Матричная запись систем линейных уравиеиий. Матричные обозначения позволяют в компактной форме