Критерий достижимости. Перейдем теперь к описанию понятия достижимости линейной системы.

Определение 3. Событие (oi Xq) линейной системы

X (г) = Л {t)x {t) -Ь в {t)u (t)

называется достижимым ыз состояния х, если найдется такое и такое входное воздействие и (t), t-i t t( что оно переводит систему из состояния х при t = t-i в состояние Xq при t = Iq. О

Как и раньше, нас в основном будут интересовать события, достижимые из начала координат х = 0.

Заметим, что понятие достижимости является точным аналогом понятия управляемости, если изменить направление времени. Иначе, достижимость - это управ.ляе-мость в обратном времени .

По аналогии с управляемой системой определим достижимую систему.

Определение 4. Система называется достижимой, в момент времена t-i, если любое событие (ц, х), где фиксировано, а X е X, является достижимым. Q

Совпадает с точностью до направления времени с критерием управ.ляемости и критерий достижимости. Сформулируем этот критерий для событий, достижимых из начала координат.

Теорема 5 (критерий достижимости). Событие {to, х) линейной системы х {t) ~ Л {t)x {t) -f- В {t)u {t) достижимо из начала координат тогда и только тогда, когда при некотором i-i <: t состояние х принадлежит области значений линейного преобразования

#(U, to) = \ Ф{to, б)В{б)В{а)Ф{1о, o)d6.

Доказате.тьство. Оно аналогично доказательству теоремы 1 и может быть представлено читателю в качестве упражнения. О

Заметим, что оператор W (f j, t) отличается от оператора W {to, t-j) лишь диапазоном интегрирования одной и той же подынтегральной функции. Для того чтобы проверить управляемость, нужно проинтегрировать некоторую функцию на отрезке [о, ib где t t, а для провер-

ки достия;имости достаточно ту жо функцию проинтегрировать на отрезке [t-, 1], где i-j Iq. Отсюда ясно, что в нестационарной системе из управляемости ие следует достижимость, а из достижимости не следует управляемость.

Рассмотрим простой пример: скалярное уравнение £ {{) = Ь {t)u {t). Если b (t) имеет вид, представленный иа рис. 19.3, а, то система в момент to уирав-ляема, но недостижима. Если же функция b (t) имеет вид, как на рис. 19.3, б, то такая система в момент t(, полностью доетижнма, но неуправляема.

Для стационарной системы можно показать, что пз управляемости следует достижимость, и обратно.

Замечание. Полученное в теореме 1 управляющее воздействие, которое переводит управляемую систему из состояния Xq при t=tQ в состояние Xj при ( = fj, i является единственным. Оно определено с точ-

ностью до некоторой произвольной, вообще говоря, функции v ((), которая удовлетворяет условию

Рис, 19.3.

\ 0(1, 0)5(6) v(a)rfG = 0.

Общая формула для управления, обеспечивающего перевод [Iq, Xf,) в (f Xj), имеет вид

U (О - -B(()ft>(fo, (0. il) [хо - Ф (0, ii)xil -Ь

+ v (О- (3)

При V {t) = О функция U (г), переводящая (;, х ) в (;, Xj), обладает замечательным свойством. Она имеет минимальную

норму среди всех функций и (t) вида (3). Это положение будет строго доказано в § 34.

Линейные периодические системы. Если система является управляемой, то в нестационарном случае, вообще говоря, нельзя указать конечное время, за которое каждое состояние системы можно было бы преобразовать в начало координат. Для специального класса управляемых нестационарных систем, описываемых линейными периодичесиимн уравнениями, любое состояние можно перевести в начало координат за время, не большее периода системы.

Пусть элементы матриц А (t) r Б {t) - непрерывные периодические функции времени с периодом Т. Согласно теореме Флоке - Ляпунова переходную матрицу для матрицы А {t) можно представить в виде

Ф {t, g = Р т- р- (to),

где R ~ постоянная матрица размеров п X п, а Р (t) ~ невырожденная непрерывная периодическая матрица, определешхая в § И. Оператор W ((q, t) для периодической системы можно представить в виде

W{to, t) - \ P{to)e>-°)P-\6)B{6)B{6){P-\o)ye<-<<-°P{to)d6. h

Он не обязательно является периодическим, хотя его подынтегральная функция является периодической функцией времени.

Теорема 6. Если периодическая система управляема, то ее из любого начального состояния можно перевести в начало координат аа время не большее периода системы.

Доказательство. Пусть Т - период системы. Предположим, что ранг оператора W 1 -\- Т) меньше п. Тогда суп];ествует ненулевой вектор х такой, что W (0, 0 -\- Г)х = 0. Отсюда следует, что

O = xl(o, о + Г)х= \ хФ((о,з)В(о)В(о)Ф(го:й)хйо =

- \ хФ(г ,о)В(б)Р йз.