имеет единственное решение р для любого заданного х.

3. Покажите, что предел

lim Ж (О, t) = Иш Ф (О, с5) В (с) В (а) Ф (О, cs) (to

существует, если система х {/) = -А (f) х {i) равномерно асимптотически устойчива, а В {t) ограничена для О f со.

4. Докажите, что дифференциальное уравнение

ж (О -Ь (f) A{t) X (t) = О

управляемо (в том смысле, что если заданы х (0), * (0) и х* (t), * {tj), то существуют и [t) и fi > О такие, что х (fj) = х* {tj) н * fl) ~ ** еслв выполнены условия: х (0) -- (0) О н

5. Рассмотрите векторное дифференциальное ураввеннб

{t)= g(t) [Axit)-{-Bn it)l где g [t] непрерывна и ограничена:

Здесь А, В - постоянные матрицы размеров п X п, п X т соответственно.

Покажите, что если ранг матрицы [В, АВ, . . ., Л ~B] равен то при любом заданном Г > О и любых Xq и Xj существует управление U (f), которое переводит систему из состояния х при t ~ Q ъ состояние при Ь = Т.

(Указание. Рассмотрите изменение масштаба времени.)

6. Если А ш В - постоянные матрицы, то

Ж (О, e-BBeUt.

(>

Так как подынтегральная функция непрерывна, то хФ (0, а)В (а) = О при любом а Т. Но это значит, в силу периодичности функции Ф {t, <J)B (о ), что Ф {t, а)В (а) = О при любом о Iq. Последнее противоречит управляемости системы. Q

Задачи, i. Получите условия управляемости, аналогичные теореме i, для матричною дифференциального уравнения

X{t] A{t)X{t) X {i) В [t)С {t) V{t)D{t).

2. Пусть / (t) ~ непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Предположите, что /((leO для всех t. Покажите, что если det [b, ЛЬ, . . ., ЛЬ] ф О, то для всех > О уравнение

с начальным условием М [t-, t-) = - (o и что матрица W {t, i-) представима в виде

W (f, (1) - Qo - e-C>->Qoe-t-\

Замечание. Уравнение AQ -\- QA - BB = 0 может и не иметь решения д. Здесь сделано, вообше говоря, произвольное до-пушение о сушествованип такого решения.

7. Пусть W(((i, t- является грамианом управляемости для системы

ъ (t) = [Р it) А it) Р- it) -f- Р (t) i>-i (01 z {/) -Ь P (t) В it) H (f). Покажите, что P (fo) (to, i) P (fo) = (h, h)-

§ 20. Стационарные объекты

Критерий уиравляемости. В стационарном случае критерий управляемости принимает простую и компактную форму. Пусть заданы матрицы системы {4, В]. Составим матрицу U размеров п X тп, первые т столбцов которой совпадают со столбцами матрицы В, вторые т столбцов совпадают со столбцами матрицы АВ и т. д., последние т столбцов матрицы U образованы матрицей n-ig Матрицу и записывают так:

и = [В, АВ, АВ, . . .,

Управляемость стационарной системы связана со свойствами матрицы и. Докажем простую лемму.

Лемм а. Если ранг [В, АВ, . . ., АВ] равен рангу [В, АВ, . . ., АВ], то дальнейшее прибавление столбцов вида АВ, i = i, 2, . . ., не увеличивает ранга матрицы.

Доказательство. Если выполняется указанное в условии леммы равенство, то все столбцы матрицы

Из теоремы 2 известно, что d

-j W (t, h] = AW ( fl) + W {t, h) A ~ BB, W (fl, (i) = 0.

Если матрица Qq является рси1евием уравнения

AQo + iUA - BB - 0,

TO покажите, что матрица М {t, /) =-- [\V {t, tj) - Qq] удовлетворяет дифференциальному уравнению

М (t, fl) AM [t, li) + iM {(, tl) A

АВ являются линейными комбинациями столбцов матрицы [В, АВ, . . ., АВ]. Но тогда и все столбцы ма.-трицы = тол№ линейно выражаются через

столбцы матрицы [В, АВ, . . ., А~В\, и следовательно, при любом i > 1 добавление слева к этой матрице элементов вида АВ не увеличивает ее ранга. Q

Из доказанной леммы, в частности, следует, что прибавление каждого последующего элемента вида АВ либо увеличивает ранг матрицы на некоторое постоянное число, либо не меняет ранга. В последнем случае и прибавление всех последующих столбп;ов вида АВ не будет увеличивать ранга матрицы.

Сформулируем теперь основной результат теории линейных стационарных систем.

Теорема 1 (критерий управляемости стационарной системы). Линейная стационарная п-мерная система

X (О = Лх {t) -I- 5u {t)

управляема тогда и только тогда, когда

ранг и -= ранг [В, АВ, . . ., А-В] = п.

Достаточность. Пусть система не является управляемой, а ранг U ~ п. Тогда найдется вектор х О, лежащий в ядре оператора W (t, t-i) и такой, что

при любом t выполнено равенство Х1Ф {t, t)B = 0. (Подробно это рассуждение проведено при доказательстве необходимости условий леммы § 19.) Поскольку система - стационарная, не нарушая общности, положим ~ 0. Тогда Xi Ф (О, t)B = О при любом f > 0. Дифференцируя это тождество но f ( - 1) раз и полагая t ~ О, получим

хВ = О, х[АВ - О, xlAB О, ..., xiiAB = О,

или xl [В, АВ, . . ., А-В] = О и одновременно Xi Ф 0. Но ненулевой вектор может быть ортогонален всем столбцам матрицы и в том и только в том случае, когда ранг и <Сп (см. § 8). Полученное противоречие доказывает достаточность условий теоремы.

Необходимость. Пусть все состояния управляемы, а ранг /7 <; п. Если ранг С/ <; п, то существует вектор Z = О, ортогональный всем столбцам матрицы U,