Т. е.

ъВ = о, zAB = О, . . zA-B = 0.

По теореме Кэли - Гамильтона {§ 5) имеем

Z (Л -h а 1Л -1 -h ... -h оСгЛ -h йо) 5 = О,

и значит, zAB = 0. Но тогда, в силу доказанной леммы, равенство zAB = О выполняется ири любом р 0. Так как все состояния управляемы, то управляемо и состояние Z, т. е.

0 = Ф(0)z -h 0{t,o)Bu{a)do. о

Для стационарной системы известен явный вид иере-ходиой матрицы: Ф (t, f) = ef-w поэтому t t

О = Hz -h I e<-> Bu {o)do = eA z -h $ e--fiu, (a) da] ,

z = --\e-ABu{o)do.

Умножая это равенство слева на z, получим

zz = zf = -$z (й-Лб-Ь 2-J-...)Su,{a)da.

Но хАВ = О при любом р > О, следовательно, правая часть этого равенства равна нулю- Это противоречит предположению, что z 0. Q

Согласно доказанной теореме свойство управляемости системы полностью определяется алгебраическими свойствами пары матриц {Л, В}. Именно, если матрица t/, составленная указанным выше образом, имеет полный ранг, то система управляема. В противном случае можно построить неуправляемое состояние.

Поскольку речь идет о стационарной системе и поскольку в качестве входных воздействий рассматриваются непрерывные функции времени, формулируемое ниже следствие не должно показаться удивительным.

Следствие 1. Линейная управляемая стационарная система может быть переведена из состояния х при t = О в начало координат к моменту t = & для любого е > 0.

Доказательство. Достаточно показать, что матрица W (О, s) достигает полного ранга при любом 60. В стационарном случае имеем

Если ранг W{d,&)<Zn, то найдется состояние хО такое, что х £ кег W (О, е). Аналогично тому, как было показано при доказательстве достаточности условий теоремы, можно получить равенства

х5 0; хАВ = О, . . ., хЛ-й = О, . .

которые противоречат критерию управляемости стационарной системы. Следовательно, если система управляема, то матрица W {О, &) имеет полный ранг при любом е>0. О

Так как управляемость стационарной системы определяется только алгебраическими свойствами нары матриц {Л, В), то часто говорят просто об управляемости нары матриц {Л, В}.

Используя результат леммы, перепишем критерий управляемости стационарной системы в следующем виде.

Следствие 2. Линейная стационарная система управляема тогда и только тогда, когда ранг [В, АВ, . , . , . ., А В] = п, где г - ранг матрицы В. Q

Следствие 3. Обозначим через характеристический многочлен матрицы А, а через -ф -минимальный многочлен этой матрицы. Если для матрицы А существует матрица-столбец Ь такая, что пара {А, Ь) управляема, то фд = -фд.

Доказательство. Поскольку полином нормирован и является делителем полинома фл, нам необходимо лишь установить, что степени этих полиномов совпадают. Но так как фл (А) b = О по теореме Кали - Гамильтона, то предположение о том, что степень полинома УрА меньше п, противоречит критерию управляемости, ибо в этом случае найдется х такой, что х [Л -\--h a-iA -]-... \- ctjb ~ О нлн, более подробно,

224 линкпнАя: ОБРАТНАЯ связь [гл. IV

хАЪ = о, xfA-Ь = о, . . хЬ = 0. Значит, среди векторов [Ь, АЪ, . . ., Л Ы есть линейно зависимые, а это противоречит критерию управляемости. Q

Следствие 4. В линейной стационарной управляемой системе ранг матрицы W (to, t) при любом ttf, равен рангу матрицы U ~ [В, АВ, . . ., А~В] и равен размерности пространства состояний системы п. Здесь г- ранг В, О

Задача финитного управления. Согласно следствию 1 управляемая система может быть переведена в начало координат за произвольно малое время с помощью непрерывного управления. Этот вывод не должен показаться удивительным, поскольку мы считаем, что матрицы {А, В} заданы точно, и кроме того, мы не налагаем на управление никаких дополнительных ограничений, кроме пенрерывности. Задачу о выборе управлепия, которое переводит систему в заданное состояние за фиксированное время, называют задачей финитного управления [42].

Если стационарная система управляема, то оператор W (to, tl) имеет полный ранг при любых t > t(, и, следовательно, существует обратный оператор W {tn, t). В этом случае уравнение

W {to, tx)x - х - хФ {to, tx)

имеет решение

X* = W- {to, tx) [Хо ~ХхФ {to, tx)],

и формула для финитного управления, переводящего событие {to, Хо) в событие {tx, х), имеет вид

U {t) = -ВФ {to, t)W- {to, tx) \Xo - Ф {to, tx)Xx]. (1)

HanoftfflHM, что это управление определено с точностью до аддитивно добавляемой произвольной функции v {t), удовлетворяющей условию

Ф{tx, o)B\{o)d6 = 0. t

Перейдем к примерам.

Пример *1. Пусть даны уравнения движения системы:

*1 = 1 4- 3 + i