матрицы этои спстемы:

1 1

Построим матрицу управляемости;

1 1

и = [Ь. ЛЬ] =

О О

Ранг и ~ \ и, следовательно, система неуправляема. Пример 2. Система

Ti ~ х, = и. о 1

о о и = [Ь, ЛЬ] -

является управляемой, так как ранг £7 = 2.

Вычислим для этой системы управление, которое переводит событие (х, 0) в событие (О, е). Согласпо теореме 1 § 19 одно пз таких управлений дает формула

п (t) -- -ЪйУ (О, t)W- (О, е)х.

Вычислим переходную матрицу и грамиан управляемости

1 О t i

Ф (О, О

Искомое >ч1равление имеет вид;

12 6

1 О / 1

uAi) = - [О, 1]

Это одно из многих управлений, решаю]цих задачу финитного управлегПГя. Вычислим еще одно управление.

8 Ю. и. Андреев

ЛПНЕЙН\Я10Г.Р \ТН\И СВЯ!Ь

[гл IV

Для этого согласно замечанию 2 необходимо построить функцию V {t), которая удовлетворяет условию

$Ф(8, o)Bv{a)da - 0.

Управление п- (t) -- у (t) по-прежнему будет переводить (х, 0) в (О, е). Уравнение для v (с?) имеет, очевидно, бесконечное множество решений в классе непрерывных функций. Вычислим одно из них. Подставляя в это уравнение выражение для переходной матрицы Ф (е, а), получим

1 8 - 5

V (о) do = 0.

Это векторное уравнение соответствует двум скалярным

(5 - а) г; (о) da = О, \v (з) do - 0.

Будем искать v (а) в виде квадратного многочлена V {(Т) = (Т etc? + Тогда получим два линейных уравнения для определения коэффициентов ct и р. Решая эту систему, найдем: ct = - г, ~ Итак, управление

преобразует событие (х, 0) в событие (О, в).

Пример 3. Рассмотрим систему х = Лх -\- Ви,

ЯП о

О 022

&21 &22

Построим управление, переводящее систему из начального состояния Хо в момент f - О в начало координат при t - t--По-преятнему воснользуемся формулой (1). Переходная матрица системы имеет вид:

Ф (О, t) =

= Ф(0,о.

Вычислим грамиан управляемости, обозначив ti t, t

Wф,t) = Ф (О, о) ВВФ (О, а) do =

(bub2i -Ь &1гМ

do =

12 (g3auf j

11 -1- 32

ail -}- 22

32 , 2a2;f

Вычислим обратную матрицу

2аз2

W31 !fai

Обозначим координаты вектора х = [ж, х. Тогда искомое управление примет вид

1 r3:i(wii&iie* 4-wsib3ie* )-i-3T3(wi3&iie*+w;22&2ie) - u)22Uii-uiMU-la[i{ui2&i2e +W2i&32e° )+i2(!ii22e -bwa2622e *

Эквивалентность управляемости и достижимости.

В § 19 было установлено, что линейная система достижима тогда и только тогда, когда линейное преобразование

(,1, к) = ]Ф {to, 0) ВВФ {to, 0) do

имеет полный ранг. Но из следствия 1 теоремы 1 вытекает, что матрица {t, to) имеет полный ранг для управляемой системы при любом to > t. Значит, управляемая стационарная система является и достижимой. Справедливо, очевидно, и обратное утверждение. В стационарном случае справедлива, таким образом, следующая

Теорема 2. Для линейной п-мерной стационарной системы

X {t) = Лх {t) + 5u {t) следующие утверждения являются эквивалентными: