Л1Ш]Лтля о (КРАТНАЯ связь

[гл. IV

1. система управляема,

2. система достижима,

3. оператор W{tQ, tj) имеет полный ранг при любом

4. оператор W {t-, t) имеет полный ранг при любом

5. ранг матрицы U = [В, ЛВ, . . ., Л В] равен п, здесь г = ранг В. Q

Наиболее подходящим для практической проверки наличия у системы свойства управляемости является условие 5.

Задачи. 1. Является ли -правляемоп пара матриц,

-1 и

О i О

2. Для системы

±1 -Xl-\- XI,

±% - Ъх% + и

вычислите одно из управлений, обеспечивающих перевод события

11 Г 2

(О, Хц) в событие s-i). Примите Хо - , xi = ,

3. Сформулируйте Критерий уиравляемостп для матричного стационарного дифференциального уравнения

tii) AX{t) X (t)B- CV{t) D,

где X (t), A, В ~ матрицы n X n, a размерность матриц С, V [t], D равна n X n, г X rn, m X n соответственно.

4. Вычислите грамиаи управляемости W {О, 1) для стационарной Системы X [t) X it) = и it).

5. Пусть Q - положительно определенная матрица. Когда стационарная система

Х1 (О

м со.

г о Q

XI (t) (t)j

u it)

управляема?

6. Если стационарная лшейная система X (t) = Ах (t) 4- Ви (t)

управляема, то покажите, что сухцествует матрица С (зависящая от bi) такая, что система

X (t) (Л -Ь ВС) X it) -J- bi V (t)

такше управляема. Здесь b; - любой ненулевой столбец матрицы В.

Замечание. Решение этой задачи будет получево в § 23,

§ 21. Понятие обратной связи

Закон управления. Для линейной конечномерной системы ссстоянием в момент времени является вектор начальных условий х (fg) х . Поскольку сформулированная задача регулирования заключается в том, чтобы обеспечить движение системы в начало координат при любых начальных состояниях, необходимо формировать управление, обеспечивающее такое движение, по данным о состоянии системы, или, как принято говорить в автоматике, необходимо формировать управление в виде обратной связи. Далее будет показано, что для линейной системы вопрос об ее чтравляемости и вопрос о существовании произвольно хорошего управления в виде обратной связи тесно cBH;(aiibi ме;кду собой. Начнем с определения закона унравл1Ч[ия.

О п р о д V л е и и о 1. Законом управления будем называть отображение Jr. Г X XU, ставящее в соответствие ка;кдому моменту времени t и состоянию системы в этот момент времени х (t) значение управляющего воздействия п {t). Q

Отображение Рс, нли функция Рс (t, х (t)), определяет U {t) неявным образом. Действительно, при подобном определении, чтобы найти U {t), необходимо рещить функциональное уравнение

п (t) = к (t, X it, хо, U (0)).

Сразу ite ясно, будет ли функция и (t), вычисленная таким образом, принадлежать классу непрерывных функций, выбранному нами в качестве исходного множества управляющих воздействий? Какие ограничения нужно нало-й,-нть па функцию к (, ) для того, чтобт решение этого уравнения было бы непрерывной функцией? Один из способов выбора таких ограничений - потребовать линей-ностп функции к {t, X (t)) по f и по х {t). Примем функцию к {t, X (0) в виде к {t, х (f)) ~ - К {t)x {t) (линейный закон управления), где К {t) - матрица размеров т х п, составленпая из непрерывных функций. В этом случае мы конструируем линейны!! регулятор, для которого

и {t)=- - к (t) X (t).

Уравнение замкнутой системы примет вид

k{t) = А (t) x{t) ~ В {t)K (t) X {t) =

= [А (t) - В (t)K (t)] X (t).

Матрпцы этой системы составлены из непрерывных функций, и следовательно, существует переходная матрица Ф {t, t(f), непрерывная по обоим аргументам. Отсюда следует, что х = Ф {t, tjXQ является непрерывной функцией. Значит, непрерывной будет н функция и (t) = ~К {t)x{t).

В дальнейшем будут рассматриваться только линейные законы управления. В соответствии с поставленной задачей предстоит выбрать матрицу цени обратной связи К (t) так, чтобы матрица замкнутой системы обеспечивала бы заданную динамику приближония системы к пулевому состоянию.

Стационарный управляемый объект. Если система X (f) - Л {)х (t) -\- В {t)u {t) управляема в момент to, то ее можно перевести, как было показано в § 20, из любого начального состояния х в начало координат с помощью непрерывного управления. Можно ли реализовать именно это управление в виде линейной обратной связи по состоянию? Ответ па этот вопрос для случая управляемого стационарного объекта дает

Теорема 1. В линейном стационарном управляемом объекте х (t) - Ах {t) + Ви (t) входное воздействие и (t) = -BW~ (t, ti)x (t), tt tl, преобразует событие (to, x) в {tl, 0).

Доказательство. Покажем, что управление, указанное в условии теоремы, совпадает с управлением

н (О = -ВФ {t t)z, где W Л, ti)z = X,

которое, согласно теореме 1 § 19, переводит событие{о, х) в {tl, 0). Вычислим траекторию движения системы под действием этого управления. Пользуясь формулой Коши, имеем

X (?) Ф{t, to) W{to, ii)z- f Ф{t, o)ВВФ{to, 0)zdc =

= Ф{t,to)[W{to,t)-W{to,t)]z.