координат, в л рост рапстве состояний системы. Верно и обратное утвержденпе. Рассмотрим простой пример. Пус11ь дана система

О 1

с= [1,0].

Рассмотр! невырожденное преобразование координат, заданное матрицей

i 1

Прообразованные матрицы системы имеют вид

1 -1 1 -1

А = РАР -

Ь = РЬ -

с = сР~1= [0,1].

Структурная схема преобразованной системы представ-лопа на рис. 22.1, а. Методами структурных преобразо-

Рис. 22.1.

ваний она может оыть сведена к первоначальному виду (рис, 22.1, б).

Вычисление матрицы преобразования. Рассмотрим теперь вопрос о вычислении матрицы преобразования Р по заданным матрицам одной и той же системы, записап-ным в разных базисах. Начнем со случая системы с одним входом.

23R ЛИНР.ЙПАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ л. tv

Теорема 1. Пусть матрицы управляемой фстемы представлены в двух различных базисах npocmpail-cmea X:

{А, Ь} {Л, Ь), Тогда матрица Р перехода от представления {А, Ь) к представлению {Л, Ь) единственна, и вычисляется по формуле I

Р = [Ь, ЛЬ,..А -1Ь] [Ь, ЛЬ,.,., Л-ibf 1.

Доказательство. Так как система управляема, то матрицы управляемости U и U имеют полный ранг. Непосредственное вылисление дает

[Ь, ЛЬ,..., >-1Ь] = [РЬ, РАР-РЪ,. .., РА-Р-РЪ] -

-Р[Ь,ЛЬ,.... л-%].

Отсюда сразу следует утверждение теоремы. Q

Б случае, когда система имеет более одного входа, матрица и не имеет обратной, так как она не квадратная, В этом случае, однако, тоже существует квадратная матрица ранга п, с помощью которой строится однозначным образом матрица Р.

Лемма. Если {п X тп)-матрица U = {В, АВ, . . . . . А ~В] имеет ранг п, то матрица С = UU тоже имеет, ранг п.

Доказательство. Если ранг матрицы U равен п, то ее строки линейно независимы и, значит, определитель матрицы Грама UU положителен. Матрица UU имеет полный ранг. О

Построим теперь матрицу преобразования для общего случая.

Теорема 2. Если управляемая п-мерная система описывается относительно различных базисов в пространстве состояний X парами матриц (Л, В] и {А, В], тпо невырожденная матрица Р, определяющая преобразование координат х ~ Рх, порожденное переходом от одного базиса к другому, может быть вычислена по формуле

Р = UU {ии}- ;

где и - [В, АВ, . . Л В], U = [В, АВ, . . ., А - В], г ~ ранг В = ранг В.

Д о\к азательство. Б силу управляемости системы д согласно лемме имеем

*анг и = ранг U ~ ранг UU = ранг UU.

С другой стороны, пользуясь формулами преобразовапия матрпн; при переходе к новому базису, получим

и = [В, ЛЁ, . . .,А--В\ =

= [РВ, РА {Р-Р)В, , . (Р-Р)В] = PU, VPV\

Умножая последнее равенство справа на U и затем справа на \VV]~, получим требуемую формулу для Р. Единственность матрицы Р, как и в теореме 1, следует из того, что существует только одно линейное преобразование, которое связывает два базиса -мерного векторного пространства. О

Hania задача состоит в том, чтобы выбрать такой базис в пространстве X или, что то же, такую матрицу линейного преобразования /*, чтобы матрицы системы имели бы хорощий вид в этом базисе.

Каноническое представление системы с одним входом. Пусть дана линейная управляемая система с одним входом

X {t) = Ах (О Ьп (О

и пусть {Х) = ХР- -[- аХ + + cTi ~ характеристический многочлен матрицы А.

называется управляемым каноническим представлением системы с одним входом. Q

Напомним, что матрица А является сопровождающей матрицей многочлена фа {Ц (см. § 5).

О том, что для управляемой системы можно выбрать базис, в котором матрицы системы имеют каноническое представление, свидетельствует следующая

Теорема 3. Пусть дана пара матриц {А, Ь}, В пространстве X тогда и только тогда существует