базис, в котором эта пара имеет каноническое представление, когда пара {А, Ь) управляема.

Доказательство. Так как пара {А, ) управляема, то п векторов Ь, АЬ, . . ., А~Ъ образуют базис в пространстве X, в силу того, что ранг [Ь, ЛЬ, . . . . . ., Л. ~Ы = п. Значит, базисом будет и /следующая система векторов: >

ej = Л -1Ь + МЬ + . . . + а-аЛЬ + a ib, ез - Л -2Ь + axA~h + ... а-.Ь,

о 1 ЛЬ + аЬ, е = Ь.

Действительно матрица перехода от базиса (Ь, ЛЬ.,.. .., Л Ь} к системе векторов {е, Сд, е} имеет трсуголт-ный вид

И, следовательно, невырождепа, так как на ее диагонали стоят единицы. Значит, система векторов {е, е, . , ., е ) линейно независима и образует базис в пространстве X.

Вектор Ь в этом базисе имеет каноническое представление Ь = [О, . . ., О, 1]. Вычислим представление матрицы Л в этом базисе. Для этого воспользуемся правилом вычисления матрицы линейпого оператора в произвольном базисе (см. § 7). Первый столбец матрицы Л в новом базисе имеет вид

Лег = (ЛЬ + aiA -ib + - - - + lAh + d b) - а Ь,

но выражение в скобках равно нулю согласно теореме Кэли - Гамильтона и, следовательно, Ле1 = - aj) = - е.

ВычисляА остальные столбцы магрицы А, получим

Аеп-1 0-2 \ зО-!,

Столбцы в базисе (е, е, . . ., е,} образуют каноническое представление матрицы А. Q

Еслипара (Л, Ь) не является управляемой, то каноническое представление, вообще говоря, не существует. Например, при b = О вектор b останется нулевым в любом базисе п, значит, для ного не будет существовать канонического представления.

Замечание 1. Если матрицы (Л, Ь} управляемой системы заданы, то для того, чтобы вычислить их каноническое представление, достаточно вычислить коэффициенты характеристического многочлена матрицы Л.

Пример.

ранг и = ранг

- 2.

Пара {Л. Ь} управляема. Характеристический многочлен матрицы А имеет вид

ФА W = (>. - 2){Х - 5) - 12 = - 7Х - 2 = 0.

J-ханоническое представление пары {Л, Ь}:

Замечание 2. Если описание системы с одним входом задано с помощью передаточной функции вида

W{p)

то каноническое представление этой системы (убедитесь в том, что она управляема) имеет вид

- у

Убедитесь непосредственной проверкой, что перуедаточная функция линейной системы, заданной этими ь/атрицами, совпадает с W (р). Каноническое представление удобно для моделирования, так как матрицы {А, Ъ) 1меют минимальное число ненулевых элементов. Обш,ац схема моделирования ?г-морной полностью управлярЬюй системы с одним входом п однпм выходом представлена на рис. 22.2.

ir-:r-in

Рис. 22.2.

Замечание Я. Ecjrn в качестве базиса пространства X выбрать векторы {Ь. ЛЬ , . . ., Л--Ь), то матрицы {Л, Ь) управляемой системы с одним входом будут иметь в этом базисе внд

.0 о

1 - J

г 1 п О

L о .

Проверьте справедливость этого утверждения, воспользовавшись теоремой Кэли - Гамильтона.

Замечание 4. При переходе к новому базису в пространстве X мы иногда не будет использовать специальные обозначения для матриц спстемы, записанных в разных базисах. Формулы преобразования в этом случае можно понимать как формулы присваивания одним и тем жо матрицам (операторам) их значений в разных базисах. Мы будем пользоваться следуюш,пм символом для обозначения операции присвапвания:

Р-АР.