§ 22] \ КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 24S

Эта формула означает, что элементам матрицы А присваиваются зцачения элементов матрпды РАР. В дальнейшем при вь\числении параметров регуляторов нам придется несколько фаз менять базис в пространстве X, и различение веек этих базисов с помощью специальных индексов представляется нам неудобным. Из текста всегда будет ясно, в каком базисе представлены матрицы системы.

Канонические представления системы с многими входами. Мы подробно рассмотрели случай системы с одним входом н получили каноническое представление для матриц управляемой системы. Подобные результаты остаютсн справедливыми и для линейных стационарных управляемых систем с М01ими входами. Ввиду того, что подробная запись доказательства в системе с ьшогими входами слишком громоздка, ниже приведены лишь результаты важнейших этапов, в надежде на то, что читатель проделает подробные выкладки самостоятельно.

Рассмотрим управляемую стационарную систему

х(0 = Ax(0-ffiu(0, 1

y(i) = Cx{(), (

где, как обычно, матрицы А, В, С имеют размерность п X п, п X т, р X ft соответственно. Выберем в пространстве состояний базис, в котором уравнения системы будут иметь канонический вид. При этом существенным требованием является управляемость системы. Напомним, что если система управляема, то матрица

и = [bj, Ъ ..., Ь АЪг,. .., АЪ,..., A-Ьг, ...,

{здесь bi - i-u столбец матрицы В = [hi, ba, . . ., Ь,]) имеет п линейно независимых столбцов. Существует много способов выбрать эти п столбцов так, чтобы сформировать такой базис пространства состояний X, в котором уравнения имели бы каноническую форму. Рассмотрим два таких способа.

Способ 1. Будем перебирать столбцы матрицы U в следующем порядке: Ь, Abi, Abi, . . A-bj, до тех пор, пока вектор AЬl не будет выражаться в виде лпнейной комбинации векторов {Ь, АЬ, . . ., A-Чl}. Если = = ft, то система может быть управляема с помощью одного первого столбца Ь матрицы В, и задача сводится к уже

решенной задаче для системи с одним входом, сли Vi < < п, то будем последовательно присоединять Ц полученному набору столбцы Ьз, ЛЬа, ... и т. д. вплоть до Л.Ьз, пока вектор ЛФз не будет выражаться как лисейная комбинация всех столбцов набора, т. с. векторов ДЬх, ЛЬх, . . . . . ., 1-%, Ьа, . . ., А-Ъ.). Еслп \\ -г 2/< п, то продолжаем присоединять к полученному набору векторы Ьз, ЛЬз, . . ., А-Ьи т. д., убеялдаясь каждый раз в том, что всякий новый вектор набора не выражается линейно через выбранные уже векторы. Эту проверку удобно проводить с помош,ью процесса ортогонализации (см. § 8). Г1редполо;ким, что \\ -\- х.2 -\ = га и п векторов

{bj, А\, . . ., A~hx. Ь,----, Л--1Ь Ьз, . . ., Л - Ьз} (1)

линейно независимы. Важное свойство этого набора векторов заключается в том, что вектор Ahi можно вы-разпть в виде линейной комбинации всех предшествуюш;их векторов набора. Например, вектор ЛЬ можно выразить как линейную комбинацию векторов {Ь. А\, Л, . . . .... A bi}. Еслп теперь взять множество векторов (1) в качестве базиса пространства R *, то матрицы Л и £ будут в этом базисе иметь следуюш,ий вид:

Матрица Л

О о 0. . .0 *; 1 О II... п *: .

п 1 о... о ; *

о о о ... 1 * I *

i 1 о о. о *

; о (] о,.. 1 *: *

: I о о... о *

о 1 о... о *

Матрица В 10 0

о п п

о п о... 1 *.

здесь, как и раныгте, зтгаком * обозночоны, возможно, не-

нулевые элементр.с матрпды А. Ото представление пары {А, В] называют первым каноническим представлением управляемой системы с многими входами [55].

Поскольку набор векторов (1) выбран в качестве базиса, то матрица перехода к новому иазпсу Р составлена из столбцов набора (1) и, следовательно, пмеет вид

Р = [Pi. Р2, . . -Vn] = IK АЬг,. . . . ., Л-Ч].

Можно проверить пепосредствеппо, что г-п столбец прпведеппоп матрицы А является представлением вектора Api в базисе {р р. . . .. p.J. Например, нродставленис столбца с номером v. равного Л A\, имсчт вид

ЛЪ f>iA-% + рЛ -f ... -h %

(где Pj., Рз1 - не все нули). Это следует из того, что вектор Ahi линейно иыра;г;астся через систему векторов {Ь Л\, . . ., ЛЬ} в соответствип со способом построения базиса (1). Заметим, что полученная матрица А является клеточно-троугольной матрицей.

Обратпте внпманпе на то, что матрицы А и В обозначаются одной и той и;е буквой при записи их в разных базисах пространства состояний.

Приведем еще один алгоритм выбора п векторов канонического базиса.

Способ 2. В качестве первых т столбцов набора выпишем линейно независимые столбцы матрицы В bj, Ь, . . ., bm. (Предполагаем, что ранг В = т.) Присоединяем к ним последовательно столбцы Ahi, ЛЬд, . . ., АЪт одуш за одним, проверяя, является ли каждый новый столбец лпнейно независимым от всех предыдущих столбцов набора. Для осущсствлепия этой проверки используем процедуру ортогоналнзацпп (см. § 8). Если какой-либо из новых столбцов выра?кается в виде линейной комбинации уже выбранных столбцов, то этот столбец выкидываем из набора- и переходим к проверке следующего столбца. После того, к;ш столбец ЛЬ проверен, переходим к проверке столбцов ЛЬ. ЛЬ, . . ., ЛЬ г и т. д. до тех пор, пока не получим и линейно независимых столбцов. Заметим, что если сто.бец ЛЬ; выпадает нз набора в силу его линейной зависимости от предшествующих столбцов, то столбцы Л+Ь;, гдо / О, Mn;h-Ho опустить, так как они