записать систему линейных уравнений вида аи + 4-----1- а, х, = bi,

Если обозначать через А ~ [ац\ матрицу коэффициентов этой системы, через х - матрицу-столбец {п X 1), х = = [х, 2, . . ., Xj] (штрих всюду означает транспонирование), а через b - матрицу-столбец {т X 1), Ь = [Ъ, b-i, . . ., bm], то матричная запись приведенной системы уравнений имеет вид

Если т = пш матрица А имеет обратную Л то умножая это уравнение слева на Л~*, получим его решение в виде X = А~Ъ. Вычисление столбца решений х сводится, таким образом, к вычислению обратной матрицы А и вынол-нению матричного умножения ЛЬ.

Задачи. 1. Покажите, что произведение диагональных матриц является диагональной матрицей.

2. Какие нз этих умножений вьтполнимы:

[1 0},

[О г

о

и 0]

[1 2 3]

Выпишите результат.

3. Вычислите ф (Л), если

ф (Я) = 5 -1- ЗЯ - Я Л =

4. Покажите, что (А } (-4)*.

ГО 1

5. Вычислите Л , если А=

6. Выпишите матрицы системы лниейных уравнений

1 + + ~

х2 ~ 6г-

7. Покажите, что произведение двух клеточно-диагональных матриц есть клеточно-диагональнаи матрица.

8. Сформулируйте правило вычислении элементов матриц {АВ), {АВ)~, если элементы матриц Л s В принадлежат произвольному ассоциативному кольцу.

9. Вычислите Лесли:

а) Л =

cos ж sin X

sma; cos ж

б) А =

I i О О X 1 0 0?.

§ 3. Определитель квадратной матрицы

Определение детерминанта. Рассмотрим квадратную матрицу А п-то порядка над коммутативным кольцом К. Поставим этой матрице в соответствие число (элемент кольца К), которое может быть вычислено по элементам матрицы А с по.мощью операций умножения, сложения и вычитания, согласно следующему определению.

Определение 1, Детерминантом {определителем) матрицы порядка 1 называется число

det =

где Afij£ - детерминант матрицы порядка {n-i), полученной из А вычеркиванием первой строки и А:-го столбца. Детерминант матрицы первого порядка совпадает с ее единственным элементом. О

Вычислим, пользуясь эти.ч определением, детерминант матрицы второго порядка

det А = det

Для матрицы третьего порядка имеем, аналогично,

nix аи ai3 an (111 о-гъ аъ\ язз аъъ

= (-l)i+iajidel

за 33

4-(-1)+112 det

Яг1 ааз 31 йзз

+ (-1)+113 det

я21 Язз

31 Язз

Определитель Мщ называется дополнительным минором элемента а:. Кроме обозначения det А, используют обозначение jAj. В дальнейшем будем пользоваться обоими способами обозначения детерминанта (определителя).

Введенное определение конструктивно. Оно дает процедуру (алгоритм) вычисления определителя матрицы любого порядка. Для дальнейшего удобно ввести еще одно определение детерминанта. Прежде чем сделать это, опишем некоторые вспомогательные понятия.

Рассмотрим набор п чисел натурального ряда 1,2,... Всякий набор тех же чисел, расположепнык в Другом порядке Sj. S2, . . Sji, называется перестановкой.

Перестановку 1, 2, 3, . . п называют основной.

Всего, очевидно, имеется п\ перестановок. Назовем беспорядком или инверсией в некоторой перестановке положение, при котором два числа Si и 5 расположены друг относительно друга не так, как в основной перестановке (т. е. большее число левее меньшего). Например, в перестановке 23154 три инверсии (2 левее 1, 3 левее 1, 5 левее 4).

Перестановки называют четными, если число инверсий четное, и нечетными, если это число нечетное.

Теперь все подготовлено к тому, чтобы ввести

Определен и е 2, Детерминантом матрицы п-го порядка называется алгебраическая сумма п\ слагаемых всевозможных произведений п элементов матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого сто.1бца, т. е. слагаемых вида й, аз п$-Слагаемое берется со знаком плюс, если перестановка Sl s.j . . . s,i - четная, и со знаком минус в противном случае. О

Можно показать, что определение 2 эквивалентно определению 1. Мы не будем доказывать соответствующую теорему (см., например, [35]), но прн выводе свойств определителя будем использовать оба определения.

Прежде чем приступить к описанию свойств определителей, установим некоторые свойства пересгановок.

Назовем перемену местами элементов в пересдановке транспозицией.

Лемма. Всякая транспозиция меняет четность перестановки. ф

Доказательство. Лемма очевидна, если переставляемые символы Стоят рядом. Пусть переставляемые