тоже будут линейно зависимы от предшествующих столбцов (это следует из леммы § 21). После выбора п линейно независимых векторов расположим их в следующем порядке:

{bi.....A-bi, b,.....Л-Ь,..., b ,..., Лп-ь ), (2)

причем [Ах -h 12 + - Н- р-;! = /г.

Главное отличие между этим способом и способом 1 состоит в том, что при первом способе вектор AAi можно было выразить в виде линейной комбинации векторов {bi, . . ., ibi}, в то время как здесь вектор ibi не может быть выражен в виде липейной комбинации векторов {bi, . . ., j-ibi). Вектор Aiibi, вообще говоря, выражается лппейно лишь с использованием всего полученного набора из п векторов. Ото замечание применимо ко всем векторам Л-Ь; для г = 1, 2, . . ., т.

Если в качестве базиса пространства состояний использовать векторы (2), то матрицы А и В ъ этом базисе примут вид

матрица А

Здесь по-прежнему знак * обозначает, возможно, ненулевые элементы матрицы А. Матрица В имеет еле-

дующие ненулевые элементы: bi bij.,+j,2 = Ь;,+1,з = . . . . . . = Ь\1. +1,т = 1. Остальные элементы этой матрицы равны нулю. Как и ранее, в том, что матрицы А ж В имеют в базисе (2) такой вид, легко убедиться непосредственно.

Сравнивая запись пары матриц {А, В] в базисах (1) и (2), мы видим разницу в этих канонических представлениях в следующем.

Матрица А, записанная в базисе (1), имеет три блока на диагонали, в то время как у матрицы Л, записанной в базисе (2), имеется ровно т блоков на диагонали.

Если в случае базиса (1) у матрицы В простой вид - лишь у первых трех столбцов, то в базисе (2) эта матрица имеет все столбцы очень простого (канонического) вида. Заметим, что число 3 взято нами в предположении, что 1+3 + Vg = п. Вообще говоря, это число может быть и другим, но суть дола при этом пе меняется.

Кроме того, матрица А в базисе (1) является клеточно-треугольной Матрицей, и значит, ее многочлен равен произведению характеристических многочленов ее диагональных клеток. Переставляя векторы в базисе (1) или в базисе (2), можно прийти и к другим каноническим формам.

Замечание 5. 13 теории регулирования большую роль играют эквивалентные преобразования структурных схем. Аналогом этих преобразований являются преобразования координат в пространстве состояний системы. Обычно считают, что удобнее преобразовывать структурные схемы, чем иметь дело с матрицами. Это, конечно, не всегда так. Пользуясь представлопнем спстемы в пространстве состояний, сразу можно выппсать каноническое представление ее матриц, а это представление удобно для моделирования и для расчетов, так как матрицы в каноническом представлении имеют минимальное число ненулевых элементов.

Резюмируя содержание этого параграфа, скажем следующее.

1. Для управляемой системы всегда можно выбрать такой базис в пространстве состояний системы, что матрицы системы принимают в этом базисе наиболее простую (каноническую) форму. Выше было приведено доказательство существования канонического базиса и даны алгоритмы его построения как в системе с одним входом,

так и в случае системы с многими входами. Эти базисы играют важную роль при решении задачи конструирования регулят ора.

2. Если даны представлепия матриц системы в различных базисах пространства X, то соответствуюш,ая матрица преобразования координат может быть вычислена по явным формулам (теоремы i, 2).

3. Если дана передаточная функция системы с одним входом и одним выходом, то каноническое представление ее матриц выписывается сразу по виду этой передаточной

функции.

4. Введенные здесь канонические представления системы называют иногда управляелшми каноническими представлениями в отличие от идентификационных кано-пических представлений, которые будут рассмотрены в гл. V.

Задачи. 1. Для системы

постройте каноническое представление по способам i н 2 для пар матриц [А, В) и (Л, С).

2. Убедитесь в том, что система

управляема с помощью любого из двух входов. Постройте каноническое представление для {А, Ъ) п {А, bj}. где Ь,. - столблы матрицы в.