3. HocTpoiiTC ка1Ю11ИЧ1 нкоо пррдетавлонпе для пар матриц:

23. Обратная связь но состоянию в стационарных системах

Обсудим воздюжпостн стационарных обратных связей по состоянию в управляемой системе. При этом важную роль будут играть введенные в § 22 канонпчоские представления линейной системы в пространстве состояний.

Система с одним входом. Здесь основным результатом является

Т о о р е .\1 а 1. Пусть линейная стационарная система с одним входом х Ц) = Ах it) + Ьи [t) управляема и пусть фу (Х) = Я -- Yi?. ! Н - + Тл ~ произвольный и армированный многочлен- п-го порядка с вещественными коэффициентами. Тогда существует вектор обрат-}1ой связи к такой, что замкнутая система х [t] = [А - - Ьк] X (t) имеет щ (X.) сеогш характеристическим многочленом.

Доказательство. Обозначим через фл ~ лЧ ttj - -- . . . --а характеристический многочлен матрицы Л. Поскольку пара {А, Ь} управляема, сувчест-вует базис в пространство X, в котором эта пара имеет канон1гческпй вид

(Обратте внимапие на то. что в соответствии с принятым условием мы не меняем обозначения матриц системы при записи их в различных базисах пространства X.)

Выберем теперь компоненты вектора обратной связи по формуле

= Tf - г 1, 2, ..., п.

Непосредственная проверка показывает, что

n-i+i

[Л-Ьк] =

и значит, ф[л-ьк] = X + YiF- + f = Фу i), так как матрица [А - Ьк] является сопровождающей матрицей многочлена ф-у (к). Q

Таким образом, с помощью обратной связи можно совершенно произвольно менять динамику системы, выбирая ее характеристические числа но своему усмотрению. Значит, липейпую систему п-то порядка с единственным входом, если она управляема, можно считать эквивалентной любой другой управляемой системе п-то порядка в том смысле, что обе системы с помощью обратной связи можно сделать неразличимыми в пространстве состояний.

Важнейшее значение этой теоремы состоит в том, что она дает возможность синтезировать систему с заданными свойствами. Процедура синтеза, но крайней мере в принципе, чрезвычайно проста.

1. Вычисляем матрицу U = ib, АЬ, . . ., Л -Ь] и проверяем, совпадает ли ранг этой матрицы с размерностью системы.

2. Вычисляем характеристический многочлен матрицы А

3. По коэффициентам заданного характеристического многочлена замкнутой системы вычисляем компоненты вектора обратной связи по формулам (1).

Замечание 1. Нас пока не интересует уравнение наблюдения у {£) = Сх [t], поскольку все переменные вектора состояния мы считаем выходными величинами. Это равносильно тому, что матрица С равна единичной матрице.

Замечание 2. Если в качестве базиса пространства состояний выбраны векторы {Ь, Ah, . . ., Л~ Ъ), то в этом базисе матрицы системы имеют вид (см. замечание 3 § 22 и пример 3 § 7) г О О ... О ~а, 1 О ... О - ct.

n-l

Lo о

Если многочлен замкнутой системы выбран в виде сру (к) = = Я, -f -г -\- Уп1 то вектор обратной связи к,

полученный в каноническом базисе, необходимо преобразовать с помондью матрицы перехода от канонического базиса к базису {Ь, Ah, . . ., A-h). Эта матрица приведена при доказательстве теоремы 1 § 22. Компоненты вектора вычислим по формулам

к: -кР-1 =

гО п . . . О 1 1 0 0... 1-1

или подробно: 1 Ti - 1

2 = (Та - г) 3 -- (Тз - з)

1 -31

1 (Ti -Cl).

1 (Т2 - з) - (Tl

l)-

кп (Тп - п) - 1 (Тп-1 - fn-i) - ... - - ai).

Замечание 3. Хотя набор характеристических чисел заданного многочлена щ (Я) назван произвольным, тем не менее имеется одно существенное ограничение. Многочлен, выбираемый в качестве характеристического