многочлена замкнутой системы, имеет вош,оС1венные коэффициенты по условиям физической реализуемости системы, поэтому всякое комплексное число присутствует в наборе корней этого многочлена вместе со своим сопряженным.

Пример 1. Пусть дана система

1 1

О 2

Эта СПС тема полностью управляема, так как

ранг и = ранг

= 2.

Вычислим характорнс1ИчРСкин многочлен чатритц,! Л фл - - 2) - - ЗХ 2, а, - ~3. а, --= 2. ]\аноническое представление iiapi.i [Л. Ь}:

Пусть корни желаемого характеристического многочлена замкнутой системы равны А. = - 3, - -1 Тогда

Гпс. 23 I.

заданный характеристический многочлен имеет внд

фу (Я) = (Я Ч- 3)(;. ~ 1) - У} 4Я - 3, = 4, =3,

Компоненты вектора обратной связи, обеспечивающей наличие у системы этого многоч:1ена, вычисляем по формулам (1) теореьш 1:

1 = Т2 - 3 3 - 2 = 1, A: - - а, - 4 3 = 7.

Структурная схема замкнутой системы предсг.юлена на рис. 23.1.

Система с многими входами. Рассмотрим систему с многими входами

x{t) = Axit)- Bu{t), (ЛС)

y{t) = Cx (t).

Будем искать стационарную обратную связь в виде U = -Кх, где К - матрица размеров т X п. Тогда уравнения замкнутой системы примут вид

x{t) [A~BK]x{t), у(0 Cx{t).

Можно доказать и-орому, в ючиости соответсгвуювц-ю сличаю системы с одним входом. Именно, ес.ии система лнравляема, то возмож(Ч1 такой выбор К, что характери-счичоский многочлен матрицы А - ВК будет совпадать с любым, наперед заданным многочлепом с вещественными коэффициет ами вида фу (л) X -\ YiV~ + . . . -f Уп- Ясно, что практический интерес представляют только такие многочлены фу (X), корни которых расположены строго слева от мнимой оси. В этом случае замкнутая система является асимптотически устойчивой (см. § 15).

Необходимый результат получим в два этана. Сначала построим такую обратную связь но состоянию, чтобы полученная система с обратной связью была бы управляема с помощью одного входа (задача 6 § 21), а затем воспол1>-зуемся результатами, приведенными ранее для системы с одним входом.

Так как рассматриваемая система управляема, то матрица

f7 = [В, ЛВ. ... , Л В] =

= [bl, b,..b. Ahi, ., АЪ.Л-bi, Л-h]

имеет ранг п. Если в матрице В есть столбец Ь; такой, что матрица [Ь;, ЛЬ, . . ., A~bi] имеет ранг п, то система управляема с помощью единственной компоненты вектора управления, именно компоненты (t). Если такого столбца в матрице нет, то нельзя получить ;;елаемое управление с помощью одного входа (t). Требуется участие двух или более компонент векюра и [t). Однако введением соотвсгст вующей обратной связи можно привести

линейную систему С многими входами к системе, управляемой с помощью одного входа. Сформулируем точно соответствующий результат.

Теорем а 2. Пусть {А, S} - управляемая пара матриц и пусть bj. bg, . . ., b - столбцы матрицы В. Тогда для любого Ь; О, i = 1, 2, . . ., т, существует постоянная матрица размеров т X п такая, что пара матриц {А - ВК, Ь} управляема.

Доказательство. Без потери общности возьмем i = 1. Так как система управляема, то матрица U - = IS, АВ, . . ., Л ~ В\ пмеет ранг п. Следовательно, в и имеется п линейно независимых столбцов. Выберем эти столбцы в соответствии со способом 1 (см. § 22). Пусть это будут векторы

{bi, Ahx, A-Ъх, \, АК.....А-Х, Ьз,ЛЬз,..., А-%}.

Здесь 1- Vg -- лз = п. Определим матрицу Р размеров п X. п, ъ столбцах которой размещены эти векторы:

Р = [К АК . - -, А--Ъх,

и определим матрицу S размеров т X п следующим образом:

5 = [0, 0,...,0,ез, 0,...,0, ез,0,...,0, 0],

где Сз - Vi-й столбец, ез - (vj -f V2)-й столбец этой матрицы, общее число столбцов которой равно Vj -- + Vg; через е,- обозначен i-й столбец единичной матрицы размеров т X т.

Теперь мы покажем, что матрица К, определяемая в виде Kl = SP~, удовлетворяет условиям теоремы, т. е. пара {А - ВК, Ь} является управляемой. Сначала перепигнем матрицу S = КР в виде

S = Kx [bi, Ahx,..., A-hx,..., Л-\1 =

= [0, ...,0, ез, 0,...,0,ез, 0,...,0].

Это матричное равенство соответствует следующему набору векторных равенств;

КхЬх - о, КхАЬх - О, КхАЪх -= О, КхАХ = е.,

КхЬ. = 0. КхАЬ = О, i/l%2 = О.....КхА -~Х = е, [2)

КхК - 0. КхЛЪ О, КхЛЪ - О, ..., КхА- -\ = 0.)