Главная
>
Управление конечномерными объектами g 2.il ОБРАТИ\я связь ПО спстояншо* 255 Показать, что пара {Л - ВК, Ь} управляема, - все равно, что показать, что векторы Ь, [А - ВКА Ъ, . . . . . [А ~ ВК] линейно независимы. С помощью набора векторных равенств (2) легко устанавливаем, что К - bl, [А-ВКА\ Abi, [А - ВК] bl [Л - ВКг] АЬг = АЬ, [А - BKifX =[А- BKi\ А-\ = A-bi, \А - [Л - BKi\ £%i=. /Г bi+ = b., -Ь [...], - BKi\hi \A- BKi\ [Ьз -f АЪ,] = Ab, -f [...], [A - ВКгГК = [A- ВКг] [A-\ -b .. .1 A 4+ [.. -l- В этих равенствах знак f...l использован для обозначения линейной комбинации нредхнествующих векторов. Ясно, что выписанные слева векторы линейно независимы в соответствии с выбором базиса в пространстве X по способу 1. Значит, пара матриц {А - ВК, Ъ} управляема. О Теперь требуемый результат получается сразу. Теорема 3. Если линейная динамическая система (ЛС) управляема, то линейная обратная связь вида и (t) - - ~Кх (t), где К - действительная постоянная матрица размеров т X п, может быть выбрана таким образом, что характеристический многочлен матрицы [А - ВК] совпадает с произвольно заданным вещ-ествен-ным многочленом фу (Я.) = Я -f VlЯ ~ -f . . . -h Y,i- Доказательство. Введя обратную связь вида U (г) = W [t) - К-к [t), преобразуем уравнения системы к виду X [t) = [А - ВКА X it) + Bw {t). Поскольку пара {А, В) управляема, то матрица может быть выбрана так, чтобы пара матриц {А - ВК. hi) была бы управляемая (здесь bi - первый столбец матрицы В). Введем теперь еще одну обратную связь вида ЛитгРйНАп >Бг\тп\я сп;г,чь [гл. IV Мх, где матрица Л/ имеет вид I) После введения этой обратной связи уравнения системы примут вид X (t) = \Л - ВКх - ВМ] X (t) = [А ~ ВКх - biin] X [t). Так как пара {А - BKi,\) управляема, то характеристический многочлен матрицы можно выбрать произвольно за счет выбора вектор-строки m (см. соответствующую теорему для системы с одним входом - теорему 1). Объединяя обратную связь и [t) = w {t) - Кх [t] и обратную связь W = -Мх (t), имеем п (t) = {-К - М) х [t) = =-- ~Кх (t). О Матрицы Л и М можно вычислить, используя приведенные вынге а!горнтмы (теоремы 1 и 2). Рис. 23.2. Значит, К вычисляется по замкнутым конечным формулам. Эти вычисления удобно проводшь, составив программу для ЦВМ. Заметим, что матрица А в только что доказанной теореме не единственна. Есть много различных способов выбора К. Папримор, еспи млтриц.ч К. выбрана так, что пара ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ ПО СОСТОЯНИЮ матриц {А, -ВК2, bg} управляема, то мы получим другую матрицу К. В литературе встречаются другие способы вычисления матрицы К, отличные от приведенного. Приведенный способ представляется наиболее простым как с точки зрения компактности его изложения, так и с точки зрения удобства для практических вычислений. (См. также [55].) Еще раз напомним, что построение канонического базиса по способу 1 выполнено в предположении, что + -f V2 -h V3 = п, т. е. что для управления системой достаточно первых трех столбцов. Обобщение на случай произвольного числа столбцов ие вызывает затруднений. На рис. 23.2 приведена структурная схема системы с многими входами, охваченной такой обратной связью по состоянию, которая обеспечивает заданную динамику замкнутой системы. Обозначения на рисунке соответствуют обозначениям доказанной теоремы. Применим полученные алгоритмы для вычисления обратной связи в системе третьего порядка с тремя входами. Пример 2. Пусть матрицы системы имеют вид
Тогда матрица Р = В = Е. В соответствии с теоремой 3 выберем матрицу S в виде ГО О О S= 1 О О .0 1 0. Матрица обратной связи Kl SP- = SE = S. Полученная матрица [А~ВКг] i О Г 1 1 о 1 1 1 управляема с помощью одного входа щ. Действительно, пара матриц {А - BKi, bl), bl = [Ij О, 01 управляема, так как ранг f7 = 3. О 9 Ю. Н. Андреев
|