Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [ 83 ] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

g 2.il ОБРАТИ\я связь ПО спстояншо* 255

Показать, что пара {Л - ВК, Ь} управляема, - все равно, что показать, что векторы Ь, [А - ВКА Ъ, . . . . . [А ~ ВК] линейно независимы. С помощью набора векторных равенств (2) легко устанавливаем, что

К - bl,

[А-ВКА\ Abi, [А - ВК] bl [Л - ВКг] АЬг = АЬ,

[А - BKifX =[А- BKi\ А-\ = A-bi, \А - [Л - BKi\ £%i=. /Г bi+ = b., -Ь [...],

- BKi\hi \A- BKi\ [Ьз -f АЪ,] = Ab, -f [...],

[A - ВКгГК = [A- ВКг] [A-\ -b .. .1 A 4+ [.. -l-

В этих равенствах знак f...l использован для обозначения линейной комбинации нредхнествующих векторов.

Ясно, что выписанные слева векторы линейно независимы в соответствии с выбором базиса в пространстве X по способу 1. Значит, пара матриц {А - ВК, Ъ} управляема. О

Теперь требуемый результат получается сразу.

Теорема 3. Если линейная динамическая система (ЛС) управляема, то линейная обратная связь вида и (t) - - ~Кх (t), где К - действительная постоянная матрица размеров т X п, может быть выбрана таким образом, что характеристический многочлен матрицы [А - ВК] совпадает с произвольно заданным вещ-ествен-ным многочленом фу (Я.) = Я -f VlЯ ~ -f . . . -h Y,i-

Доказательство. Введя обратную связь вида U (г) = W [t) - К-к [t), преобразуем уравнения системы к виду

X [t) = [А - ВКА X it) + Bw {t).

Поскольку пара {А, В) управляема, то матрица может быть выбрана так, чтобы пара матриц {А - ВК. hi) была бы управляемая (здесь bi - первый столбец матрицы В). Введем теперь еще одну обратную связь вида



ЛитгРйНАп >Бг\тп\я сп;г,чь

[гл. IV

Мх, где матрица Л/ имеет вид

I)

После введения этой обратной связи уравнения системы примут вид

X (t) = \Л - ВКх - ВМ] X (t) = [А ~ ВКх - biin] X [t).

Так как пара {А - BKi,\) управляема, то характеристический многочлен матрицы можно выбрать произвольно за счет выбора вектор-строки m (см. соответствующую теорему для системы с одним входом - теорему 1). Объединяя обратную связь и [t) = w {t) - Кх [t] и обратную связь W = -Мх (t), имеем п (t) = {-К - М) х [t) = =-- ~Кх (t). О

Матрицы Л и М можно вычислить, используя приведенные вынге а!горнтмы (теоремы 1 и 2).


Рис. 23.2.

Значит, К вычисляется по замкнутым конечным формулам. Эти вычисления удобно проводшь, составив программу для ЦВМ.

Заметим, что матрица А в только что доказанной теореме не единственна. Есть много различных способов выбора К. Папримор, еспи млтриц.ч К. выбрана так, что пара



ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ ПО СОСТОЯНИЮ

матриц {А, -ВК2, bg} управляема, то мы получим другую матрицу К. В литературе встречаются другие способы вычисления матрицы К, отличные от приведенного. Приведенный способ представляется наиболее простым как с точки зрения компактности его изложения, так и с точки зрения удобства для практических вычислений. (См. также [55].)

Еще раз напомним, что построение канонического базиса по способу 1 выполнено в предположении, что + -f V2 -h V3 = п, т. е. что для управления системой достаточно первых трех столбцов. Обобщение на случай произвольного числа столбцов ие вызывает затруднений.

На рис. 23.2 приведена структурная схема системы с многими входами, охваченной такой обратной связью по состоянию, которая обеспечивает заданную динамику замкнутой системы. Обозначения на рисунке соответствуют обозначениям доказанной теоремы.

Применим полученные алгоритмы для вычисления обратной связи в системе третьего порядка с тремя входами.

Пример 2. Пусть матрицы системы имеют вид

, в =

Тогда матрица Р = В = Е. В соответствии с теоремой 3 выберем матрицу S в виде

ГО О О S= 1 О О .0 1 0.

Матрица обратной связи

Kl SP- = SE = S.

Полученная матрица

[А~ВКг]

i О Г

1 1 о 1 1 1

управляема с помощью одного входа щ. Действительно, пара матриц

{А - BKi, bl), bl = [Ij О, 01 управляема, так как ранг f7 = 3. О

9 Ю. Н. Андреев



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [ 83 ] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139