Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

линейная овратная связь

[гл. IV

Неограниченные воаможности обратных связей реализуются в том случае, когда все переменны* состояния доступны для измерения в качестве выходных величин системы. Обычно это не имеет места на практике. Поэтому необходимо регпать задачу получения приемлемой оценки вектора состояния. Этой задаче посвящена гл. V.

Задачи. 1. Вычислите такой вектор обратной связи для системы, приведенной в примере 1, чтобы замкнутая система была бы генератором синусоидальных колебаний частоты о, т. е.

- f.in (at.

2. В той же системе выберите обратную связь так, чтобы корни замкнутой системы были равны - - 5, - - 1.

3. Вычислите обратную связь в примере 2 такую, чтобы характеристические числа замкнутой системы совпадали с числами = = Яа = Яд = -1. Нарисуйте структурную схему полученной системы.

4. Воспользовавшись теоремой 2. выберите матрицу обратной связи К в енстеме, заданной матрицами

так, чтобы система с обратной связью была бы управляема с помощью третьего столбца матрицы В.

5. Для системы, приведенной в задаче 1 22, постройте обратную связь по состоянию такую, чтобы замкнутая система имела бы следующие характеристические числа: -1 ± ь з~ = ~5 ± 2, Яа = Яб = - 2.

6. Для системы задачи 2 § 22 рассчитайте коэффициенты обратной связи, обеспечивающей равенство всех собственных чисел замкнутой системы; Я, = Я = Яв = 4 =

7. (Tzafestas, 1975.) Пусть унравяяемая пара {А, Ь} задана в канонической форме, т. е. b = [О . . - О 1J и пусть L - устойчивая жорданова матрица, собственные числа которой совпадают с же-лаеиьшн собственными часдан этой сястеиы, зав1Кнутой с помощью стационарной обратной связи вида и = кх(). Тогда существует неособенная матрица Т, такая что выполнено равенство

0

Получите явные формулы для последовательного вычисления матриц к и Г по уравнению (1). Распространите полученные результаты на многомерные системы, считая, что управляемая пара {А, В] имеет каноническое представление, приведенное на стр. 244,



ГЛАВА V

ИДЕНТИФИКАТОРЫ СОСТОЯНИЯ

Для линейной стационарной управляемой системы нами установлено следуюндее: 1) Существует управление, которое переводит любое состояние х в начало координат за произвольно малое время. 2) Это управление может быть реализовано в виде нестационарной обратной связи. 3) Если ограничиться только стационарными линейными законами управления, то можно произвольно менять динамику замкнутой системы, в том случае, если все компоненты вектора состояния доступны для измерения.

На практике, однако, все компоненты вектора состояний не доступны для измерения, либо потому, что число измерительных устройств ограничено, либо потому, что часть переменных состояний в принципе нельзя измерить. Обычно выходными величинами объекта служат лищь отдельные компоненты вектора состояний, либо линейные комбинации этих компопепт.

Таким образом, для того, чтобы воспользоваться результатами, связанными с неограниченными воэможно-стями обратной связи по состоянию, необходимо найти разумную замену (оценку) для вектора состояния системы. Для оценки состояния естественно воспользоваться информацией о входных и выходных величинах системы и о ее структуре (матрицах А, В, С),

В этой главе будет получено рещение задачи оценки состояния. Сначала мы введем необходимые понятия и сформулируем условия, которым должен удовлетворять объект, чтобы задача оценки его состояпия имела рещение. Далее обсудим связь задачи управления и задачи оценки состояния и получим уравнения идентификаторов - динамических систем, формирующих оценку состояния в стационарном случае.



§ 24. Наблюдаемость и идентифицируемость

Основные положения. Наша цель будет состоять в том, чтобы для данной линейной системы восстановить вектор состояния х (() или иайти оценку этого вектора но данным о входах и (t) и выходах у (t) системы. Оценку состояния системы обозначим x(i). Близость оценки xf) к истинному вектору состояния x{t) можно понимать, но крайней мере, в двух смыслах: либо как стремление ошибки оценки к нулю, т. е, x{t) - х (() ->-О ири t-*~oo, либо как точное совпадение вектора состояния X [t) и вектора оценки х {t) в момент i = после наблюдения выходных переменных объекта в течение конечного отрезка времени to] при (-i или [tg, tl] при tl to-

Если систему оценки состояния удается построить хотя бы в одном из указанных смыслов, то возникает вопрос, нельзя ли построить регулятор, который состоял бы из системы оценки состояния и обратной связи, выбранной в предположении, что вектор состояния точно известен. Эта задача будет решена в гл. VI.

В нестационарной линейной системе будем различать следующие две задачи об оценке текущего состояния системы.

Задачей наблюдения иаголбм. задачу оценки состояния системы в момент времени to по известным входным и выходным воздействиям, измеренным в будущем, т. е. по данным о U (г) и у {t) при t (о-

Задачей идентификации будем называть задачу определения состояния системы в момент времени to но данным о входных и выходных величинах, измеренных в прошлом, т. е. по данным у (() и n{t) при to-

План решения этих задач следующий. Мы дадим определение ненаблюдаемого и неидентифицируемого события линейной системы. Введем критерии, йформулироваиные в виде необходимых и достаточных условийтого, что Событие является неидеитифицируемым или ненаблюдаемым. Покажем для стационарного случая, что неиденти-фицируемые события действительно можно идентифицировать. В заключении обсудим дуальность задачи управлепия и задачи оценки состояния.

Перейдем к точным определениям*



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139