Определенно 1. Событие (Iq, х) линейной системы (ЛС) является неидентифицируемым тогда и только тогда, когда у (t; t, х, 0) =0 при всех tto-O

Аналогично определяется ненаблюдаемое событие.

Определение 2, Событие (t, х) линейной системы (ЛС) является ненаблюдаемым тогда и только тогда, когда у (г; t, х, 0) = О при всех ( > о-О

Согласно этим определениям событие ((( 0) является ненаблюдаемым и неидентифицируемым.

Смысл этих определений в следуюгцем. Если на входе системы имеется нулевое управляюгцее воздействие, а начальное состояние отлично от нуля, то неидентифицируемым и ненаблюдаемым состояниям системы соответствуют нулевые выходные величины.

Введем понятия наблюдаемой и идентифицируемой системы.

Определение 3. Линейная система явл яется наблюдаемой в момент времени t, если ни одно событие {t(f, Xq) не является ненаблюдаемым за исключением события (to, 0).Q

Определение 4. Линейная система является идентифицируемой, если ни одно событие {t, Xq) не яв.ляется неидентифицируемым, за исключением события (fo, О).0

Заметим, что из того, что система идентифицируема, егде не следует, что можно построить хорошую оценку ее состояния. Это предстоит егде доказать. Собственно, из того, что система идентифицируема, следует лищь, что при ненулевом начальном состоянии свободной системы (управление и (t) = 0) ее выходные параметры являются ненулевыми. Другими словами, ненулевое состояние системы вызывает какое-то изменение выходов системы во времени.

Пример неидентифицируемой системы приведен на рис. 24.1. Пусть u{t) = О и входная цепь разорвана, а в индуктивности имеется начальный ток i, и пусть i (г) = = Xi (t). Ясно, что нельзя оценить величину этого тока по наблюдениям выходного напряжения y{t) или даже обеих величин у (t) и u{t).

Замечание. Часто не делают различия между задачей наблюдения и задачей идентификации, объединяя

ЭТИ порятия термином на5л?юдаеность. Йиогд а опреде-

ляют наблюдаемую систему как систему, в которой по прошлым значениям выходных величин можно судить о состоянии в настоящий момент времени. Мы определили зту задачу как задачу идентификации, следуя Калману 1241. О

В стационарной системе идентифицируемость эквивалентна наблюдаемости, и поэтому любое из этих понятий можно использовать /; для обозначения задачи

/) * построения оценки со-

I 1 ! стояния.

Критерий неидентн-фицируемости. Сформу-1ф R y(fj лируем критерии не-

идентифицируемости и ненаблюдаемости. Эти з критерии аналогичны

критериям достижимо-

Рис. 24.1. сти и управляемости,

но доказательство соответствующих теоремока-зывается существенно проще, поскольку в данном случае предстоит лишь показать, в каком случае систему нельзя идентифицировать (наблюдать), а нет необходимости строить процедуру идентификации. Критерий неидентифицируемости сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 1 (критерий неидентифицнруемости). Событие (t, х) линейной системы

k{t) = А {t) x{t)-\-B [t) и [t), у (О = С (О X it) (ЛС)

является неидеитифицируемым. тогда и только тогда, когда х принадлежит ядру линейного преобразования

M{t U)= J Ф(о, г )С(5)С(б)Ф(б,го)б;

здесь, очевидно, М (i-i, (о) - матрица размеров п X п.

Достаточность. Пусть х принадлежит ядру AI (( t,). Тогда по определению ядра линейного оператора имеем

М (Li, (о) X = 0. (1)

xM{t-i,to)x = lC(б)Ф(б,Oxf d6

следует, что хМ (ti, t) х = О, поскольку

У {t-i, to, X, 0) С {ti)Ф {t~y, to)x=0

при любом t (р. Но это и означает, что М (t-i, х ~ == О, т. е. X принадлежит ядру М (f-i, t). Q

Совершенно аналогично доказывается и критерий ненаблюдаемости.

Теорема 2 (критерий ненаблюдаемости). Событие (to, х) линейной системы (ЛС) является ненаблюдаемым

Обозначим матрицу С (б)Ф (з, (о) - о?> тогда

N {а, Q = [С (а)Ф (с, (о)! - ФЧ-з, h) С (а), и формулу (1) можно переписать в виде

М о) X = 5 N (а, о) N (б, о) xdc = 0. (-1

Умножив зто равенство слева на х, получим

хМ о) X = 5 X W (а, о) yV (а, хйз,

или, замечая, что под знаком интеграла стоит норма вектора N (б, to) X (поскольку [N (б, t) хГ = xN (а, (о)) получим

xM{t i, to)x= I jiV (6, (о) xf cfo = 0. i-i

Ho это равенство возможно тогда и только тогда, когда N (а, о) X = О при всех а е U-i, fol- Значит,

N (g, о) X = с (а)Ф (б, о) X = у (о; х, 0) = О,

что как раз и соответствует определению неидентифици-руемого события.

Необходимость. Пусть событие {t, х) неиден-тифицируемо, т. е. при любом <[ имеет место равенство у (( i; to, X, 0) = 0. Из формулы