264 ИДЕНТИФИКАТОРЫ состояния [ГЛ. V

тогда и только тозда, когда х принадлежит ядру оператора М (0, ti)t где h

Й {to, ti) = J Ф (б, (о) с (а) С (б) Ф (б,(о) d6. О

Задача точной оценки состояния. Покажем теперь, что ненаблюдаемое событие можно точно восстановить по данным наблюдения на конечном отрезке времени. Эта задача аналогична задаче вычисления управления, переводящего любое событие линейной управляемой системы в начало координат.

Пусть система задана матрицами А (t), В (t), С (t) и известно входное воздействие u{t) для tot t. Тогда ясно, что выход такой системы может быть выражен в виде

у (О = q(OФ о) X (to) + У1 (г), где у1 {t) - известная функция!

y{t) = lc{t)0{t,e)B{a)u{a) da,

которая не зависит от х (to). Поэтому для того, чтобы судить о X (to) по данным о выходе системы, достаточно рассматривать однородную систему

k{t) = у (г) = Cit)x{t).

Функция у1 (t) может быть вычислена единственным образом но известным В {t), С {t), u(().

Лемма. Пусть С (t) - матрица р X п, элементы которой непрерывны на интервале t t. Ядро

преобразования L: >-Ср1( t], определенного соотношениями L (х {t)) = С {t) X {t), совпадает с ядром преобразования

M{t,tx)=\ C{t)C{t)dt. и

Доказательство. Если х [t ~ Xq принад-леншт ядру преобразования М [t, t, то М (г, t = О,

И значит, хо М {t, tj) Xq = О, Поэтому Il II

5 х[С (О С (О xodt = 51С (О Хо f dt = 0. t<,

Поскольку с (t) - непрерывная функция, то С (t) Хц = О при любом ta t tl, и поэтому С (t) = 0. Обратно, если C{t) Хц = О, то С (t) С {t) = О и поэтому инте-II

грал с {t) С (t) Xq dt равен нулю. Значит, М {t, fj) Хд = t

= 0. О

Теорема 3. Если матрицы линейной системы

х(0 = Л (Ох (О, у (t) =C{t)x (t)

заданы на интервале t t, то можно определить

X {to) с точностью до постоянного вектора, который лежит в ядре оператора h

М {tQ, tl) = \ Ф {t, to) С (О с (О Ф {и to) dt,

В частности, х ((g) можно определить единственным образом, если матрица М {to, ti) - неособенная. Более того, нельзя отличить, зная у (t) при to t ti, лачалъное состояние х от начального состояния х, если вектор

Xi ~ Хд лежит в ядре оператора М {t, t.

Доказательство. Согласно уравнению системы имеем

у (О = С (г)Ф {t, to) X {to).

Домножив это равенство слева на Ф {t, to) С {t), получим Ф(г- to)C{t)y{t) = Ф{t, tQ)C{t)C{t)0{t, to)x{tQ). Интегрируя теперь на интервале to t ti, получим

J Ф {t, to) С {t) у (О dt = М {to, tl) X {to).

Так как левая часть этого равенства известна (функцию у {t) мы измеряем на интервале to t ti), то значение X (to) может быть определено с точностью до аддитивно добавленного постоянного вектора, лежагцего в ядре

оператора ii/((о, Q, Если же М (о, О несингулярна, то

X ((о) = (0, fl) 5 Ф (о) С it) у [t) dt, и

и, таким образом, х (to) определен однозначно.

Предположим теперь, что х - Хд лежит в ядро оператора М {to, tj). Пусть у1 (t) и Уз (t) - выходные величины, соответствующие начальным условиям х и Xg. Тогда

I \\У1 (О - У2(Оf dt = \\C{t)0[t, to) xi- С(t)Ф{t, to)xfdt =

to h

= (xi - Хз) J Ф {t, to) с {t) с {t) Ф {t, to) dt (xi - Хз) =

= ( Xi - Хз) M {to, tl) (Xi - Хз) = 0.

Значит, у1 (t) ~ Уз (t) HpH fo и потому Xj н неразличимы. Q

Роль матрицы М {to, ti) аналогична роли матрицы (ff fl), которую мы назвали грамианом управляемости. По аналогии матрицу М {to, tj) называют грамианом наблюдаемости*

Теорема 4 (свойства грамнана наблюдаемости). Матрица М (fg, fi), определенная в формулировке теоремы 3, имеет следующие свойства:

1. М {to, fj) - симметрическая матрица.

2. М (fo, f]) неотрицательно определена для f > to.

3. М {to, fj) удовлетворяет линейному матричному дифференциальному уравнению

Й {t, f,) =-А (/) Й (/, fl) - iTf (f, fl) A (0 - С (О С (f).

i(?(foi fo) - 0.

4. Л/(f fj) удовлетворяет функциональному уравнению

М {to, fl) - ik(fo, f) Ф (f, fo) M (f, fl) Ф (f, f ). G

Теорема доказывается аналогично теореме 2 § 19, н читателю предлагается провести это доказательство в качестве упражнения.