Дуальность задач управлеиия и задач оценки состояния. Обращает на себя внимание то обстоятельство, что оператор W, введенный в § 19, и оператор М из теоремы 1 как бы дополняют друг Друга. Преобразуем подынтегральную функцию оператора W в подынтегральную функцию оператора М. Для этого произведем замену переменной интегрирования 0 - t, - а в операторе М (ti, t). Тогда матрицы W {Iq, tj) и М {t i, t) примут вид

= J Ф {hJo-\-a)B{tQ-\-a)B{to + a)0{to,h-]-a)dd, о

= j Ф{to-a,to)C{to~a)C{to-a)Ф{t~a,U)da.

Отсюда следует, что преобразование подынтегральной функции оператора W (i, t) в подынтегральную функцию оператора М (t, tf,) заключается в следующей замене:

4>( o, 0-Ь а)Ф(0 - а, д, В % + а)-С % - а).

Но в соответствии со свойствами 6 и 7 переходной матрицы § 10, матрицы Ф [to, + а) и Ф (to - а, t) удовлетворяют следуюгцим дифференциальным уравнениям:

= - Ф (г., h + а) 4 (г. + а), = Ф (( - а, г ) Л (; - ). Другими словами, преобразование

Ф (to, 0 -I- ) Ф (to - , О равносильно следующему преобразованию матрицы А {t): А {t, А- а)-А {t, - а).

Значит, для того чтобы осуществить преобразование подынтегральной функции оператора W t в подынтегральную функцию оператора М (ti, t), необходимо

выполнить следующее преобразование матриц системы:

Л {to + а) Л {to - а), В {to -\-a)C{to~a).

Это преобразование заключается в зеркальном отображении всех функций, соответствующих этим матрицам, относительно точки tff, переходе к транспонированным матрицам и замене В иа С.

Предположим, что пара матриц [А, В} определяет в момент времени полностью управляемую систему, т. е. существует t такое, что ранг W{to, f) = re. Если эту пару матриц подставить в оператор М {t i, to), предварительно отобразив их зеркально относительно точки fo и перейдя к транспонированным матрицам, то оператор М (f i, to) в этом случае будет иметь полный ранг, следовательно, ни одно состояние системы х (f) = А (2fo - х {t), у {t) = В {2to t) X {t) не будет принадлежать его ядру, т. е. все эти состояния будут идентифицируемы. Положим to а = t, тогда преобразование (2) примет вид

А {t)->A {2to - t), В {t) С {2to - t).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Пара матриц [А (f), В {t)} определяет линейную систему, которая в момент времени Iq управляема тогда и только тогда, когда пара матриц Л (f) = - А (20 - t), С {t) = В {2tQ - t) определяет систему, которая в момент времени идентифицируема. Q

Дуальность понятий наблюдаемости и достижимости устанавливает

Теорема 6. Пара матриц А {t), С (f) определяет линейную систему, которая в момент времени to наблюдаема, тогда и только тогда, когда пара матриц

А {t) = А {2to ~ t), Ё {t) - С {2to - О

определяет систему, которая в момент времени t достижима. Q

Перейдем к стационарному случаю. В стационарном случае переходная матрица системы имеет вид Ф (fl fo) н операторы W{to, tj), М {t i, f ) можно

Так как оператор W {t, достигает полного ранга при любом 1 0 2 том и только в том случае, когда пара матриц {А, В) является управляемой, то и оператор М (f-, Iq) достигает полного ранга при любом тогда и только тогда, когда пара матриц {А, С} является управляемой. Но если оператор М {t x, to) имеет полный ранг, то ни одно состояние, кроме нулевого, не принадлежит ядру этого оператора и, следовательно, система является идентифицируемой. Таким образом, нами доказана

Теорема 7. Пара постоянных матриц [А, С} определяет идентифицируемую систему тогда и только тогда, когда пара матриц [А, С) определяет управляемую систему. Q

Но если пара {А, С} идентифицируема, то из определения оператора М (f, ti) иепосредственно следует, что эта пара является и наблюдаемой. Действительно,

М {h, tl) = I е С -.)С СеС -.) ЙЗ, после замены и = б -

M{h,ti)= I eCWdu,

и М {tQ, достигает полного ранга при любом ti о* Значит, из идентифицируемости пары матриц {А, С) следует наблюдаемость этой пары матриц. Теперь, вспоминая формулировку критерия управляемости стационарной системы, сформулируем следующее утверждение.

Теорема 8. Пара матриц {А, С] определяет идентифицируемую и наблюдаемую систему в том и только в том случае, если ранг D равен рангу [С, АС, . . . . . ., {А)\С] = п.

1редставить так:

М {t.i, и) = 5 e--CCe-do.