ИДЕНТИФИКАТОРЫ состояния

1ГЛ, V

Здесь D - матрица размеров п X пр, составленная ш столбцов матриц С, А*С\ {AУ-C, каждая из которых имеет размерность тг X р, s - ранг матрицы, С. Q

Теоремы 5, 6 и 7, 8 свидетельствуют о том, что понятие идентифицируемости дополняет понятие управляемости, а понятие наблюдаемости дополняет понятие достижимости. Говорят, что достижимость дуальна наблюдаемости, а управляемость дуальна идентифицируемости. В стационарном случае идентифицируемость эквивалентна наблюдаемости, а управляемость эквивалентна достижимости, и справедлива следующая

Теорема 9. Линейная стационарная система

x{t)Ax{t)-\-Bu{t)-у(0 = Сх(0

является наблюдаемой тогда и только тогда, когда система x(f) = i4x(0 + C u (f), у(0 = 5х(0

является управляемой. Здесь А, В, С - матрицы размеров п X п, п X р X п соотвешстеенно. Вектор и (О в системе (3) имеет размерность т X i, а в системе (4) вектор U {t) имеет размерность р X i. Q

Пример. Пусть система задана матрицами

С = II О 0J;

О о 1 -

о 1 -1 =3,

1 -1 ij

то система управляема и достижима. Матрица идентифицируемости

i О 0-

1> = [С,АС,А С] =

так как ранг [В, АВ, АВ] равен рангу

О 0-1

О -1 1

тоже имеет ранг, равный 3. Следовательно, система наблюдаема и идентифицируема. 0

Дуальность задач управления и задач оценки состояния позволяет воспользоваться результатами, полученными при решении задачи управления с помощью обратной

а) Л =

б) Л =

0 0 10

0 0 0 1

1 о о 0

1 2 3 4 5 6 3 2 1

С = [1 О 1 0]

Л 2 3 2 1 5

§ 25. Лсимлтотичесвие идентификаторы п-го порядка

Формулы для точного восстановления вектора состояний системы до данным наблюдения за входными и выходными переменными на конечном отрезке времени были получены при доказательстве теоремы 3 § 24. Эти результаты подобны тем, которые были получены при решении задачи о построении управления, переводящего систему в заданную точку пространства состояний за фиксированное время (теорема 1 § 19).

В важнейшем частном случае стационарной системы мы попытаемся построить такую оценку вектора состояния X {t), чтобы x{t) - X {t) -V О при t оо. Другого, к сожалению, нельзя потребовать, так как стационарный идентификатор не может, в принципе, обеспечить точную идентификацию состояния системы, точно так же, как стационарная обратная связь ие пригодна для приведения системы точно в заданное состояние за конечное время. Но, так же как и в случае управления с помощью обратной

срязи в стационарной системе, для решения задачи построения оценки состояние этой системы.

Задачи. 1. Переменная х [t) удовлетворяет дифференциальному уравнению

x{t)-\- x{t)\0,

значение x{t) известно нра /=я, 2л, . Можно лн определить х{0) а d- (0) по этим данным?

2. Поиажите, что ликейная стационарная система

X (О = Лх Вм it)

управляема тогда и только тогда, когда система

х(0= -Лх(/), у(0 = 5х(0

идентифицируема.

3. Являются ли идентифицируеьшми пары матриц:

0 1 О От

272 ИДЕНТ1ТФИКАТ0РЫ СОСТОЯНИЯ ГГЛ. V

СВЯЗИ по состоянию, характеристические числа идентифи-катора можно назначать по своеиу усиотреиию, совершенно произвольным образом меняя характер стремления оценки к (t) к состоянию х (t).

В этом разделе будут: построены уравнения динамической системы, входами которой являются входы и выходы исходной линейной системы, а выходами компоненты вектора X (О - оценки вектора состояний х (t).

Определение 1. Динамическую систему, которая формирует на выходе веитор х {t) по данным о входах и выходах системы, будем называть идентификатором состояния. О

Замечание. В американской литературе используются термины: observer , estate estimator*, estate reconstruction device*. Несмотря на то что задачей идентификации называют обычно задачу оценки структуры и параметров математической модели объектов, автор считает, что термин идентифинатор состояния вполне точно отражает суть дела и более удачен, чем иногда используемый буквальный перевод термина observer - наблюдатель. Q

Рассмотрим сначала различные способы конструирования стационарных идентификаторов состояния.

Простейший идентификатор. Начнем с построения идентификатора для системы с одним входом и одним выходом, заданной уравнением

х(0 = Дх(0Ч-Ьи(4 y{t)cx(t).

Поскольку матрицы системы Л, Ь, с известны, то в качестве идентификатора состояния моясно принять модель системы, которая будет формировать оценку к (t). Схема такого простейшего идентификатора представлена на рис. 25л.

Если начальное состояние системы совпадает с начальным состоянием идентификатора и если на вход идентификатора подается то же управляющее воздействие, что и на саму систему, то выход идентификатора х (t) будет равен состоянию х (t) при всех t В такой системе нерешенным остается только вопрос о выборе начального состояния идентификатора. Эта задача решается, если использовать свойство идентифицируемости начального состоя-