символы расиоложены произвольно:

. . . (X . . , kjfi. . . . . . kl к, . . kjfiCt.. .

Будем последовательно переставлять а с ki, к, . . ., к, р> При этом мьг совершим {т + 1) транспозиций рядом стоящих символов. После этого будем переставлять последовательно с к . . kl. При этом совершим т транспозиций рядом стоящих символов. Всего мы совершили {2тп + 1) транспозиций. Так как 2т + 1 - нечетное число, лемма доказана.

Следствие, Пусть имеется слагаемое детр-нанта aisfi2Si ns- Д- того чтобы определить ШОМ слагаемого, можно не располагать сомножители в по-Шке возрастания первых индексов. Пусть эти множитпели сположены произвольно, т. е. слагаемое имеет вид KffiriU Vn пользоваться следуюищм прахом: если обе перестановки гг . . . г w tn имеют гковую четность, то берем знак плюс, а если разную, - минус. 0

\: Действительно, если четности перестановок совпадают,. %i переставив в слагаемом сомножители так,чтобы нереста-ша гГд, . . Гп была основной, мы подвергнем переста-ши одинаковому числу транспозиций. Следовательно, ;илу леммы, перестановки будут иметь одинаковую fnoCTb. Так как основная перестановка четная, то чет-будет и другая перестановка. Слагаемое надо брать зном плюс. Аналогично доказательство случая раз-четности перестановок. Свойства определителей. 1, Детерминант не меняется транспонировании матрицы:

\А\ = \А\.

Рассмотрим слагаемое левого детерминанта aisfi.is - -. а а, при транспонировании матрицы множители в

м слагаемом снова окажутся в разных строчках и раз-X столбцах, но оии будут по другому занумерованы: dUei f3n- Знак тоже будет один и тот же, так как в обоих случаях определяется четностью перестановки

. . -Sn- О Ю. Н. Андреев

Это свойство свидетельствует о равионравии строк и столбцов. Поэтому Б дальнейшем будем говорить только о строках детерминанта.

2. Если в матрице переставить местами две строки, то опреде.титель изменит знак:

При перестановке строк каждое слагаемое детерминанта войдет в правую матрицу с неизменной перестановкой вторых индексов (номера столбцов) и с измененной перестановкой первых индексов (номера строк). Причем это изменение заключается в одной транспозиции, меняю-щ&ж согласно лемме четность перестановки. Следовательно, все слагаемые изменяют свой знак.

3. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее детерминант равен нулю.

Действительно, переставим одинаковые строки. Тогда del Л = -det Л, следовательно, det Л = 0.

4. Если какая-нибудь строка квадратной матрицы состоит из нулей, го определитель этой матрицы равен нулю.

Согласно определению 2 в каждое слагаемое войдет хотя бы один элемент нулевой строки, и значит, все слагаемые будут нулями.

5. Свойство линейности определителя. Имеют место равенства

равенство а) прямо следует из того, что

(lis, - (is- + ois) (nsn =

Аналогично доказывается и свойство б).

6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число, т. е. справедливо равенство

Разложим левый определитель по свойству 5. Тогда первый определитель в этом разложении будет совпадать с правым, а второй будет равен нулю, так как у него будут две одинаковые строки.

7. Для квадратной матрицы А порядка п имеет место равенство

которое является прямым следствием свойства линейности 56).

8. Разложение детерминанта по строке я столбцу. Так как в любое слагаемое детерминанта входит один элемент г-й строки, то можно записать равенство

[ 4 I = а-г-уАх -Ь аггМг + - + ainin-

Ai называется алгебраическим дополнением, или адъюнктом к элементу aj. Аналогичную формулу можно написать для элементов у-го столбца.

М { Согласно определению 1 Ац; = {- iy+Min, где ~ дополнительный минор элемента ац. Аналогичное соотношение справедливо для любого алгебраического допол-неная, именно

Ац = {-itMis, (AM)

где Mij - дополнительный минор элемента atj, равный по определению детерминанту матрицы порядка {п - 1),