Теорема 1. Если линейная стационарная система с одним выходом идентифицируема, то можно построить асимптотический идентификатор с произвольным желаемым набором собственных чисел матрицы [А - 1с]: {1121 - ч п} {комплексные числа входят в этот набор вместе со своими сопряженными), причем Re (Ki) 0.

Доказательство. Так как пара матриц [А, с} идентифицируема, то пара {А, с} является согласно геореме 8 § 24 полностью управляемой, и значит, существует базис в пространстве X, в котором эта пара матриц имеет вид

где Фа (Л) = Я + а-Х + . . . + - характеристический многочлен матрицы Л. В этом базисе матрицы [Л, с} запишутся так:

о -я, о - а

Lo о

- Й1 J

с= [0...11.(ИКП)

Это представление пары {А, с} назовем идентификационным каноническим представлением.

Пусть теперь задан произвольный нормированный многочлен тг-го порядка фи {%) = Я -f Л + . . . -Ь р с вещественными коэффициентами. Выберем в качестве компонент вектора 1 числа = Pi ~ (i - 1, 2, . . ,

. . ., п). Непосредственная проверка показывает, что характеристический многочлен матрицы [А - IcI совпадает с заданным многочленом Фи(). О

Замечание 1. Линейная стационарная система с одним входом и одним выходом, описание которой задано с помощью передаточной функции вида

W{p) =

является управляемой. Матрицы каноинческого представления Этой системы имеют вид (УКП) (см. замечание 2 к теореме 3 § 22). Идентификационное каноническое представление этих матриц имеет вид

Lo о

- 1 J

[0...1], b =

Чтобы вычислить компоненты вектора Ь, необходимо построить матрицу Р преобразования управляемой пары {А\ с} к идентифицируемой паре {А, с} вида (ИКП). Это построение можно выполнить, воспользовавшись результатом теоремы 1 § 21. Тогда компоненты вектора b определятся по формуле Ь: = РЪ, где Ь справа имеет вид Ь = [О . . . 1].

Структурная схема моделирования системы вида (ИКП) приведена на рис. 25.3.

Рис. 25.3.

Замечание 2. Если собственные числа идентификатора выбраны так, что все их детвительные части отрицательны, то не имеет значения, какое начальное состояние имеет идентификатор, поскольку его выход X [t) будет стремиться к действительному состоянию х {t) асимптотически. Причем чем больше модули отрицательных вещественных чисел идентификатора, тем быстрее оценка х {t) приближается к действительному состоянию. Но чем быстрее стремление оценки х (О к х {t), тем чувствительнее идентификатор к шумам, действующим в канале измерения состояния системы. Поэтому вопрос о том, какие собственные числа идентификатора необходимо выбрать, чтобы он выполнял свою задачу наилучшим

образом, является далеко не тривиальным, и его решение требует рассмотрения конкретных условий работы системы (характер помех, точность задания коэффициентов и т. д.).

Рассмотрим примеры конструирования п-мерных асимптотических идентификаторов состояния для системы с одним входом.

Пример 1. Пусть даны матрицы системы

О О

с = [1 0].

Так как пара {А\ с} полностью управляема, то данная система является полностью идентифицируемой. Матрица преобразования пары матриц {А, с} к идентификационному каноническому представлению имеет вид

О 1

Это преобразование состоит в замене и х, х на х. Итак, идентификационное каноническое представление матриц системы имеет вид

О О

с = [О 1].

Если теперь задан произвольный многочлен (ри Щ = Я + + Pi + Ра и мы хотим, чтобы характеристический многочлен системы идентификатора совпадал с (ри (Я), то необходимо выбрать в соответствии с теоремой 1 компоненты вектора 1 по формулам:

1 = Ра - 2 = Ра 2 = р1 ~ 1 = р1

так как ai = = 0. Уравнения идентификатора имеют вид

(f) = [Л - 1с] х(0 + \y{t) + Ьи {t). Запишем их подробно:

u{t).

Структурная схема идентификатора представлена на рис. 25.4.