АСИМТОТИЧЕСКИВ ИДЕНТИФИКАТОРЫ

Асимптотический дифференциатор. Типичной задачей теории линейных систем является задача конструирования дифференциаторов. Оказывается, что эта задача сводится к только что рассмотренной нами задаче идентификации состояпия стационарной .чипейной спстемы.

Рис. 25.4.

Определение 3. Линейная система с одним входом называется асимптотическим дифференциатором порядка /г - 1, если при всех и (О й имеем

г = 0,1, 2,..., ft - 1,

каждое [t) -> О при оо. Q

Пусть задана функция и [t) Q, где Q - пространство многочленов от t степени не выше ft - 1 с коэффициентами из R. Тогда справедлива

Теорема 2. Асимптотический дифференциатор порядка п ~ iy являющийся п-мврНой системой, сугце-ствует.

Доказательство. Дело в том, что входные воздействия и {t) можно рассматривать как выходные величины t/ (£) - U {t) линейной системыri-ro порядка,

описываемой матрицами

с = [0. ..о 1], В = 0.

Действительно, вычисляя переходную матрицу этой системы, получим

fc=0

О 0 0 О

L (n-i)]

t 1

Таким образом, функция у(0 = сх(0 = еФ(г,0)х(0)

является многочленом. Другими словами, любой многочлен может быть получен в качестве выходной величины у {t) системы {А, с) за счет подходящего выбора начального состояния X (0). Так как система (Л, с) полностью идентифицируема, то согласно доказанной теореме можно построить систему оценки ее состояния, а динамику стремления оценки (t) к состоянию х {t) моясно выбирать совершенно произвольно.

Система с многими выходами. Пусть линейная система

X (О = Ах (О + fiu(0, у (О = Сх (О,

(ЛС)

где А, В, С -~ матрицы п X п, пХт, рХп{р1) соответственно, имеет много выходов. По аналогии со случаем одного выхода рассмотрим -мерную динамическую систему - идентификатор, на вход которого поданы входы системы (ЛС) и, кроме того, сигнал рассогласования между выходами этой системы и выходами системы (ЛС) с коэффициентами усиления, заданными с помощью матрицы L. Уравнения этой системы имеют вид

х(0= Лх(0 + и(0 Ь\у{) У(0 = Х(0.

Cx{f)]

Здесь L - матрица размеров п X р. Вводя невырожденную замену переменной х (t) = х (/) - х (t), мы получим уравнения для рассогласования ме?кду состоянием системы (ЛС) и выходом идентификатора (1) в виде

X (t) = U - LC] X (t).

Поскольку пара матриц {Л, С] является идентифицируемой, то пара {Л, С} управляема, и значит, найдется такая матрица L, что характеристический многочлен матрицы [А - CL] совпадает с любым заданным вещественным многочлепом фи (Я). Поскольку характеристические многочлены матриц 1А - LC\ н [А - СL] совпадают, то мы получим следующий результат.

Теорема 3. Для линейной идентифицируемой системы с многими входами (ЛС) существует п~мерный идентификатор состояния вида (1), причем характеристический многочлен матрицы [А - LC], корни которого определяют характер стремления ошибки идентификатора к нулю, может бить произвольным вещественным многочленом ф (к) = А, -f PiV -f + Рп* О

Из сказанного ясно, что для вычисления неизвестных параметров идентификатора (матрицы L) по заданным динамическим свойстЦМ (многочлен фи (А,)) можно воспользоваться алгоритмом выбора матрицы обратной связи, приведенным в § 23.

Задачи. 1. Постройте идентификатор состояния для пары

матриц

-1 П О 1п

П 1 о 1

0 0 10

о о 1 о

4 0 0 1 0 10 1

который имел бы следующие соботвеииые числа: Я. = = -3, Я.3 = Я. j = - 1.

2. Постройте устойчивый 4-мерный идентификатор состояния, все характеристические числа которого равны 1, для системы с одним входом и одним выходом, передаточная функция которой имеет вид

P(P + i){P-\-2] (p-j-2)