3. Выпишите уравнения идентификатора для системы - 2 -1 1 А = 1 О 1 , С --1 О 1

10 0

о 1 о

Собственные числа идентификатора: - - 1 -f- ~ - 1 -

= -3.

4. Постройте идентификатор 6-го порядка для системы, приведенной в задаче 1 § 22, приняв в качестве его собственных чисел 1- = -1, i - 1, 2, . . ., 6.

§ 26. Цдентификагоры Люенбергера

{п - 1)-мерный асимптотический вдеитификатор для системы с одвим выходом. Построенный в § 25 асимптотический идентификатор имеет ту же размерность, что и сама система. Согласно теореме 1 § 25, если система идентифицируема, то динамические свойства идентификатора можно выбирать произвольно. Если уравнения системы с одним выходом записаны б идентификационной канонической форме, то выход у (t) совпадает с последней компонентой вектора состояний (t). Естественно спросить, а нельзя ли оценивать лишь переменные х (t), х (f),. . . . . ., Xn-i {t)r приняв в качестве оценки переменной х (t) результат ее измерения, т. е. положив i (t) = у (t) = Xfi {t)7 Оказывается, такой идентификатор можно построить, причем характеристические числа этого идентификатора по-прежнему могут назначаться произвольно.

Рассмотрим уравиение -мерного асимптотического идентификатора линейной системы

X (О = Лх {t) -h 1 [у (О - сх (t)] + Ъи (t).

Пусть в этом уравнеции пара матриц {Л, с} имеет идентификационное каноническое представление. Это означает, н частности, что сх (t) = £ц (t). Примем выход системы у (t) = сх (t) = х (t) в качестве оценки переменной Xji (f), т. е. будем рассматривать результат измерения координаты Хп (t) в качестве оценки (t). Подставляя у (t) = in {t) в уравнение идентификатора, получим следующую систему линейных дифференциальных уравиений (л - 1)-го порядка (последнее уравнение мы заменили тождеством й {t) = у {t)):

x{t) - Я(0-Ьад(0+Ьгг(0. (1)

Здесь х (t) = м n-i(Ol через А обозначена

подматрица размеров (п-1)х(п, - 1), расположенная в левом верхнем углу матрицы А. - последний столбец матрицы А. Черточка сверху означает, что соответствующий ft-вектор превращен в (ft - 1)-мерный отбрасыванием последней компоненты. Например, b =

Покажем, что характеристические числа (п - 1)Мер-ного идентификатора (1) совпадают с характеристическими числами матрицы Ж. Заменим в уравнении идентификатора (1) переменные (t) на ?j (t) по формуле X (t) = X (t) - X (t). Вектор ошибки имеет размерность п - 1. В новых переменных уравнения идентификатора примут вид

X (О -X (О = Л [X (t) -X (01 + а;,у (О -Ь Ьи (t).

Но первые л - 1 уравнений системы х (t) = Ах {t)-\--f- Ъи (t) имеют вид

х(0 = Ях(0 -\-lAit) -\-bu{t).

Учитывая это и то, что ж (() = у {t), получим следующее уравнение для (п - 1)-мерного вектора х {t):

x{t) = Ax{t).

Таким образом, характеристические числа подматрицы А размеров (ft - 1) X (ft - 1) определяют динамику стремления к нулю ошибки оценки состояния системы в (и - 1)-мерном идентификаторе. Следовательно, если найти такое невырожденное преобразование Р, которое обеспечивает желаемый набор характеристических чисел у подматрицы размеров (ft - 1) X (л - 1), расположенной в левом верхнем углу матрицы А, то тем самым можно получить уравт-нения (ft - 1)-мерного асимптотического идентификатора, динамические свойства которого можно выбирать по своему усмотрению. Обратите внимание на то, что в приведен-номнижевьтводе преобразование Р произвольно меняет характеристические числа матрицы А, не меняя характеристических чисел матрицы А\ Проверим, что нужное нам

иреобраэование Р имеет виц

оГГГТГ !

р-1 =

О ... О 1

где Е - единичная матрицы размеров {п - 1) X (л - 1).

Если пара [Л, с} имеет каноническое идентификационное представление, то иепосредственное вычисление дает

-О О ... О -p ii lc(i-?i)Pn-i- n

1 О ... О (ai-Pi)P -3 - тг-! +Pn-1

РЛР~ =

0 0 ... 1 3 j (c(i-Pi)P, -t-Pj:

О О ... 6 i i 1 -h Pi .

Если обозначать компоненты вектора b через b, b, . . . . . . , bji, то первые тг - 1 компонент преобразованного вектора Ъ: = РЬ имеют вид

К -Pn-iV

Ъ: = РЬ =

Так РАР-

как характеристический многочлен матрицы есть многочлен фи {Ц = к -\- К + -. . . + который можно выбрать по своему усмотрению, то это и означает, что можно найти уравнения (л - 1)-мерного идентификатора с желаемым набором характеристических чисел. Проделанные вычисления позволяют сформулировать следующее утверждение.

Теорема 1. Для идептифи.ируемой п-мериой линейной системы к (t) = Ах (t) + Ъи (t), у (t) = Сх (t) можно построить {п - \)-мерный идентификатор состояния, характеристические числа которого можно выбирать по своему усмотрению. Если матрацы {А, с) представлены в виде (ИКП), то выход системы используется в этом идентификаторе в качест оценки п-й цомцоцецты век-тори cQcmomufi Q