плексное число %i является корнем этого многочлена, то сопряженное число Х тоже должно быть корнем этого многочлена. Полученные результаты суммируем в виде следующей теоремы.

Т е о р е м а 2. Если п-мерная линейная стационарная система

x{t) = Ax{t)-{-Bn{t), ]

y{t) = CK{t) j -

полностью идентифицируема, то можно построить {п - р)- .мерный асимптотический идентификатор состояния, характеристический .многочлен которого совпадает с любым желаемым устойчивым многоч.1еном с действительными коэффициентами. Здесь р равно рангу .матрицы С. О Алгоритм построения асимптотического идентификатора состояния для системы с многими входами состоит из двух этапов:

1. Выбираем базис в пространстве X, в котором система разбивается на р подсистем вида (6), используя способ 2 § 22.

2. Используем алгоритм построения идентификатора для системы с одним выходом и многими входами.

Замечание. Хотя приведенные результаты и имеют значительный теоретический интерес, они не дают критериев выбора полюсов идентификатора. Ясно, что характеристические числа идентификатора должны выбираться таким образом, чтобы идентификатор был устойчивым и чтобы вещественные части его собственных значений были более отрицательными , чем вещественные части собственных значений самой систомы. Это нужно требовать потому, что, как правило, но известно начальное состояние идентификатора. Однако увеличение модуля вещественных частей идентификатора превращает его в дифференциатор со всеми возникающими при этом проблемами. Выбор размещения полюсов идентификатора - сложная задача, в особенности для многомерных систем.

Матричное уравнение та - dt 5 в теории идентификаторов. Рассмотрим другой подход к задаче конструирования идентификатора. Начнем с задачи идентификации состояния однородной стационарной системы х {t) = Ах (£), уравнение наблюдения которой имеет вид у (/) -

1 )*

= Сх где С - матрица р X п. Пусть выходы этой системы подаются на входы д-мерной системы (идентификатора) Z = Dz -f- QCx, где Q - матрица д X р, D - матрица q X q. Обозначим QC = 5, тогда

z-Dz + 5x. (7)

Предположим теперь, что существует {q X ге)-матрица Т такая, что выполняется равенство ТА -DT = S. Тогда непосредственным вычислением легко установить, что решение уравнения (7) представимо в виде

% (t) = Гх (t) -Ь [г (0) - Гх (0)1 (8)

и, значит, если D - устойчивая матрица., то z (t) -f- Tx (t) при оо при любых Z (0) и X (0). Предположим, что система имеет р линейно независимых выходов, размерность идентификатора равна/г - />, причем матрнца D устойчива, а Г является решением уравнения

TA~DTS (9)

и имеет ранг [п - р). Тогда р компонент вектора выхода жп - р переменных состояния идентификатора дают ровно п линейно независимых линейных комбинаций переменных состояния системы. Решая эти п линейно независимых уравнений относительно п неизвестных, получим оценки всех колшонент вектора состояния. Динамика стремления ошибки этих оценок к нулю определяется матрицей D. Задача конструирования идентификатора при таком подходе сводится к решению матричного уравнения ТА - DT = S относительно {д X л)-матрицы Г. В этом уравнении матрица А задана, матрицу D выбирают по желаемым динамическим свойствам идентификатора, матрица S задана частично, так как S = QC, где С задана, а Q предстоит выбрать. Итак, алгебраическая задача состоит в том, чтобы выбрать D я Q так, чтобы решение Т имело заданный ранг п -- р.

Если система подвержена внешним воздействиям В ф Ф О, то решение уравнений идентификатора будет по-прежнему иметь вид (8), если эти уравнения записать в форме

Z (О Пъ (t) -Ь Sx it) -Ь ТВа (t) (10)

И если Т удовлетворяет уравнению (9). Советуем читателю проделать соответствующие несложные вычисления и доказать следующий результат.

Теорема 3. Выходы ланеиноа (д-мертюй) системы (10) асимптотически приближаются к линейным комбинациям вектора состояний Тх {t) линейной системы х [t) = = Ах [t) 4 Ви {t) при любых начальных условиях z(0), X (0) е том и только в том случае, когда Т является решением матричного алгебраического уравнения (9). а матрица D устойчива. Q

Поскольку теоремы о существовании идентификаторов с произвольными динамическими свойствами нами доказаны, мы рассмотрим задачи конструирования идентификаторов с помощью данного подхода, не останавливаясь на математических подробностях. Пусть матрицы {А, с} системы X (t) Ах (t). у (t) - сх (t) имеют идентификационное каноническое представление. Пусть уравнение (7) идентификатора для этой системы имеет вид

ГО О ... О

L- п

0-3,

о о ... 1

-0 0...

0 0... В , -а

0 0.. \ - 1

В атом случае легко проверить, что решением уравнения ТА - DT = S является единичная матрица Е == Т, поэтому переменные идентификатора служат оценкой для соответствующих переменных Xi- Поскольку матрица уравнения наблюдения с = [О О ... 1] нам задана, то из уравнения S Qa. имеем

<?= ...

Поскольку характеристический полином матрицы D равен сри (М + р1 + . . . Ч-рп) то динамические свойства идентификатора можно выбрать по своему усмотрению.