Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 [ 99 ] 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

Алгоритм вычисления коэффициентов регулятора для системы с одним входом. Пусть даны матрицы управляемой и идентифицируемой системы с одним входом и с одним выходом {А, Ь, с} и пусть характеристический многочлен матрицы А равен (fA (Я) = Я + аЯ Н- . . . . . . H-ttn- Выберем в качестве (Я) = Я -f Vi + . +9 Хйрэктеристический многочлен идентификатора представим в виде фи (Я) =- Я Pi Я - -- . . . + р. Введем обозначения

О 1 о ... о т го

0 0 1 ... о о

- а.

- 01.,

. - а.

Уравнения регулятора, согласно приведенным выше результатам имеют вид

X {t) = [А - 1с] i {t) + \у {t) + Ъи (О, u{t) = - кх(0. Матрицы регулятора можно вычислить по формулам:

. 0

~К 1

Г Р.

0 .

. 0

[А-1с] =

. 0

&П-2

0 .

-Pi -1

- 3i

Ь = РЬ,

к = [Г - зц, Тп-1 - ..., Tl - cti]

Чтобы получить матрицы Р и Р , необходимо последовательно выполнить следующие вычисления:

и = [Ъ,АЬ,..., A -ib], и [h,Ah,..., А-%1

а = и-\ с = cva, р = {[с, Ас.....{а)-1]ау, р-к

Объем всех вычислений, необходимых для построения матриц регулятора, в точности равен двум обращениям и пяти умножениям п-мерпых матриц.

Мы не приводим здесь подробного вывода этих формул, так как по существу опи были получены ранее. Приведенный алгоритм объединяет задачу выбора обратной



связи по состоянию и задачу выбора коэффициентов идентификатора. При последовательном применении этих алгоритмов нужно лишь следить за тем, чтобы матрицы системы были бы записаны в одном и том ле базисе пространства состояний. Существование матрицы перехода к каноническому представлению и к идентификационному каноническому представлению обеспечивается свойствами управляемости и идентифицируемости системы. Ясно, что полученные уравнения регулятора определены с точностью до некоторого невырожденного преобразования Р в пространстве состояний системы.

Для случая системы второго порядка с одним входом и одним выходом можно позволить себе роскошь в явном виде выписать формулы обратной связи по заданным коэффициентам многочленов фу и Фд. Пусть элементы матриц системы обозначены;

Л = [а;э-], b = ibi, c=(ci,i], фд - -1-аЯ + 2-

Выберем: фу - -Ь Vi Ь Тз Фи = -Ь -Ь Рз-Матрицы регулятора вычисляем но формулам:

О - Йа1

[Л-1с] =

3i - ai.

Сх = Сх {схЬх -Ь 111 -Ь ахф) +

= ЬхСх. + \с,

(Т -Ь аз) - ?1 (Tl - i)

(Tl - aj)(ai?i - ctaca) ~ n (Та - aa)

c2(aici - asca) - c\

Структурная схема регулятора приведена на рис. 27.2.

Замечание. Вычисление пе обязательно проводить по приведенным общим формулам. Порядок расчетов может быть и другим. Поскольку характеристический многочлен замкнутой системы, охваченной связью по состоянию, и характеристический многочлен идентификатора можно вычислять независимо друг от друга, то можно построить несколько равноценных алгоритмов вычисления я-мерной обратной связи, обеспечивающей заданный набор 2п характеристических чисел замкнутой



системы. Например, сначала можно вычислить вектор обратной связи к. Для этого удобно перейти к каноническому управляющему представлению. Тогда матрицы А, Ь, к выписываются сразу, а для получения матрицы с необходимо вычислить матрицу преобразовапия Р. Чтобы вычислить вектор 1. удобно перейти сразу к базису, в котором пара {А, с} имеет каноническое идентификационное представление. Тогда матрицы {А, с, 1} выписываются сразу, а для вычисления матриц к, b нужно строить


Рис. 27.2.

соответствующую матрицу перехода. Последовательность вычислений можно менять. Необходимо лишь помнить основное правило: все матрицы системы должны быть записаны в одном и том же базисе пространства состояний. Ясно, что коэффициенты регуляторов при различных способах расчетов могут быть разными, хотя замкнутая система и будет иметь один и тот же набор собственных чисел. Получаемые регуляторы будут иметь одну и ту же передаточную функцию и одинаковые характеристические многочлены. Структурные схемы этих регуляторов можно сделать идентичными с помощью соответствующего невырожденного линейного преобразования в пространстве состояний или с помощью разрешенных преобразований структурных схем.

Фильтр Калмана. Задача регулирования в детерминированной постановке решена, считая, что все параметры



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 [ 99 ] 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139