Главная
>
Управление конечномерными объектами Алгоритм вычисления коэффициентов регулятора для системы с одним входом. Пусть даны матрицы управляемой и идентифицируемой системы с одним входом и с одним выходом {А, Ь, с} и пусть характеристический многочлен матрицы А равен (fA (Я) = Я + аЯ Н- . . . . . . H-ttn- Выберем в качестве (Я) = Я -f Vi + . +9 Хйрэктеристический многочлен идентификатора представим в виде фи (Я) =- Я Pi Я - -- . . . + р. Введем обозначения О 1 о ... о т го 0 0 1 ... о о - а. - 01., . - а. Уравнения регулятора, согласно приведенным выше результатам имеют вид X {t) = [А - 1с] i {t) + \у {t) + Ъи (О, u{t) = - кх(0. Матрицы регулятора можно вычислить по формулам:
Ь = РЬ, к = [Г - зц, Тп-1 - ..., Tl - cti] Чтобы получить матрицы Р и Р , необходимо последовательно выполнить следующие вычисления: и = [Ъ,АЬ,..., A -ib], и [h,Ah,..., А-%1 а = и-\ с = cva, р = {[с, Ас.....{а)-1]ау, р-к Объем всех вычислений, необходимых для построения матриц регулятора, в точности равен двум обращениям и пяти умножениям п-мерпых матриц. Мы не приводим здесь подробного вывода этих формул, так как по существу опи были получены ранее. Приведенный алгоритм объединяет задачу выбора обратной связи по состоянию и задачу выбора коэффициентов идентификатора. При последовательном применении этих алгоритмов нужно лишь следить за тем, чтобы матрицы системы были бы записаны в одном и том ле базисе пространства состояний. Существование матрицы перехода к каноническому представлению и к идентификационному каноническому представлению обеспечивается свойствами управляемости и идентифицируемости системы. Ясно, что полученные уравнения регулятора определены с точностью до некоторого невырожденного преобразования Р в пространстве состояний системы. Для случая системы второго порядка с одним входом и одним выходом можно позволить себе роскошь в явном виде выписать формулы обратной связи по заданным коэффициентам многочленов фу и Фд. Пусть элементы матриц системы обозначены; Л = [а;э-], b = ibi, c=(ci,i], фд - -1-аЯ + 2- Выберем: фу - -Ь Vi Ь Тз Фи = -Ь -Ь Рз-Матрицы регулятора вычисляем но формулам: О - Йа1 [Л-1с] = 3i - ai. Сх = Сх {схЬх -Ь 111 -Ь ахф) + = ЬхСх. + \с, (Т -Ь аз) - ?1 (Tl - i) (Tl - aj)(ai?i - ctaca) ~ n (Та - aa) c2(aici - asca) - c\ Структурная схема регулятора приведена на рис. 27.2. Замечание. Вычисление пе обязательно проводить по приведенным общим формулам. Порядок расчетов может быть и другим. Поскольку характеристический многочлен замкнутой системы, охваченной связью по состоянию, и характеристический многочлен идентификатора можно вычислять независимо друг от друга, то можно построить несколько равноценных алгоритмов вычисления я-мерной обратной связи, обеспечивающей заданный набор 2п характеристических чисел замкнутой системы. Например, сначала можно вычислить вектор обратной связи к. Для этого удобно перейти к каноническому управляющему представлению. Тогда матрицы А, Ь, к выписываются сразу, а для получения матрицы с необходимо вычислить матрицу преобразовапия Р. Чтобы вычислить вектор 1. удобно перейти сразу к базису, в котором пара {А, с} имеет каноническое идентификационное представление. Тогда матрицы {А, с, 1} выписываются сразу, а для вычисления матриц к, b нужно строить Рис. 27.2. соответствующую матрицу перехода. Последовательность вычислений можно менять. Необходимо лишь помнить основное правило: все матрицы системы должны быть записаны в одном и том же базисе пространства состояний. Ясно, что коэффициенты регуляторов при различных способах расчетов могут быть разными, хотя замкнутая система и будет иметь один и тот же набор собственных чисел. Получаемые регуляторы будут иметь одну и ту же передаточную функцию и одинаковые характеристические многочлены. Структурные схемы этих регуляторов можно сделать идентичными с помощью соответствующего невырожденного линейного преобразования в пространстве состояний или с помощью разрешенных преобразований структурных схем. Фильтр Калмана. Задача регулирования в детерминированной постановке решена, считая, что все параметры
|