для энергии диполя и силы, действующей на диполь, если:

а) вектор р параллелен прямой, соединяющей заряд и диполь (pffr).

б) вектор р перпендикулярен этой прямой (pi.г) (рис. 10).

Рис. 10

Рис. И

Решение. По определению W, = -(р-Е). Так как Е= (1/4яео)?г-Зг, то для случаев

а) Wp==-{l/ineo)pqr- б) Wp = 0. По определению F= -qrad Wp. Поэтому (см. примечание) :

--gradfp.-

3(рг)г

Для случаев а)

Примечание.

4яев

И б) f р =

grad [р- - 1

== grad

(р.г).

= - grad (р. г) -f (р г) grad При р = const grad (p-r) = р, а grad (г ) = пг - г и при

. = -3grad Таким образом

grad (р

3.6.2. Найдите выражения для энергии и силы взаимодействия (на единицу длины) двух равномер-

2 Зак. т

но заряженных, бесконечно длинных параллельных нитей с линейными плотностями заряда yi и Y2, нахо-ДЯШ.ИХСЯ на расстоянии г друг от друга (рис. 11). Какую работу (на единицу длины) нужно совершить, чтобы наполовину сблизить эти нити? Определите энергию и силу взаимодействия, а также работу, если У1=У2 = 3-10- К/м и г==Го = 2 см.

Решение. Найдем, например, энергию нити с уг в поле нити с уь Тогда

= j9iY2i = 9iY2.

так как

Ф1 -2Yiln-i-, (Ф(.=1) = 0),

4яе0

F, = - 2yxY2 grad (In г) =

4я8о 4л;со г

Работу найдем из условия A = W2-Wi, Тогда А=±=-{ 1/4я8о) 2у1 Y2 [In (г/2) -In г] = = (1/4яео)2у1У2 In 2.

Подставляя в полученные формулы значения уь У2 и г, найдем

117;7,8.10-3 дж/м, 28,1 Н/м, Л = 0,112 Дж/м.

4. Контрольные вопросы

4.1. Укажите размерности в единицах системы СИ и CGSE величин линейной, поверхностной и объемной плотности заряда.

4.2. При определении напряженности и потенциала электростатического поля используют представление о пробном точечном заряде. Что понимают под этим термином?

4.3. Можно ли дать определение напряженности

электростатического поля, опираясь на представление о пробном электрическом диполе? Если можно, то как это сделать?

4.4. На рис. 12 показана зависимость потенциала

0<х<а

Рис. 13

электростатического поля от одной из координат. Как изменится этот график, если осуществить перенормировку потенциала? Что Вы можете сказать о величине и знаке компрненты вектора напряженности вдоль этой координаты? Сохранив масштаб вдоль х, постройте зависимость от х компоненты вектора Е вдоль этой координаты. Можно ли по данному графику указать область, где имеются заряды, создающие поле? Вели нет, то почему? Найдите распределение заряда, создающего центральное поле, если вместо х отложена координата г в сферической системе координат (в расчетах используйте условие div(rr) == (Ai + 3)r). Как изменится график вблизи точки г=а, если в этой точке имеется поверхностный заряд?

4.5. Найдите значения постоянных Сь Сг и Сз и соответствующие выражения для потенциала по данным решения задачи 3.3.1, полагая потенциал в точке с координатой r==Ri равным нулю.

4.6. По результатам решения задачи 3.2.3 проследите, как меняются компоненты вектора напряженности электростатического поля в случаях (а) и (б) при переходе через поверхность распределения заряда (0=0). Удовлетворяет ли для этих случаев вектор Е граничным условиям: RotE==0 и DivE = a/eo? Используя связь между Е и ф в декартовых координатах, найдите потенциал произвольной точки в случаях (а) и (б).