5. Задачи для самостоятельного решения

5.1. При некотором соотношении между двумя точечными зарядами и q одной из эквипотенциальных поверхностей, охватывающей заряд q, является сфера с центром, лежащим на прямой, соединяющей эти заряды. Предполагая, что известен радиус такой сферы /?, величина заряда q и расстояние от заряда q до этой сферы, равное а, вычислите заряд q и расстояние от заряда q до центра сферы.

Ответ. q=~qR/{a + R), bRy{a + R).

5.2. Три точечных заряда -2q и +q лежат на одной прямой на расстоянии а друг от друга. Вычислите потенциал электростатического поля в точке, лежащей на этой же прямой, достаточно удаленной от зарядов (г>а - линейный квадруполь).

Ответ, ф = -----, где Q = 2qa ~ квадруполь-

4jteo

ный момент.

5.3. Вычислите среднее значение потенциала в точках, лежащих на поверхности сферы, охватывающей точечный заряд q, если центр сферы отстоит от заряда q на расстоянии Ь,

Ответ: (ср) = i- = 0.

5.4. Вычислите потенциал и напряженность электростатического поля в точке, расположенной на оси тонкого, равномерно заряженного диска радиуса R на расстоянии Zq от его центра. Поверхностная плотность заряда диска а. Рассмотрите случаи, когда R>Zq, RZq и R/z-ОО.

Ответ:

Ф = 2Я0Г (Yr+zI - Zo), Фо, = О,

4лео \ + 4

- Zo , 1 ZJ

при i? Zo: ф=-2яог/? 1 -+

4яео

V R 2 I

-2яог 1 ~

при R € Zq\ ф при RIZq

4я8о 1 я R}a

4я8о

сх>: ф =

4Я8о

1 я.

4яео

4Я8о

2я(Г.,

5.5. Вычислите потенциал электростатического поля на краю тонкого диска радиуса R, заряженного поверхностным зарядом с равномерной плотностью а й сравните его значение с потенциалом в центре диска (рис. 13).

Ответ: ф- =

4яео

Фи Фл

5.6. Линейные заряды с плотностью y и -у равномерно распределены вдоль бесконечно длинных параллельных нитей, находящихся на расстоянии 2а друг от друга. Вычислите потенциал электростатического поля и форму эквипотенциальных поверхностей.

Ответ. Эквипотенциальные поверхности удовлетворяют уравнению (рис. 14)

Г27а1 = const

и представляют собой поверхности круговых цилиндров, оси которых лежат в одной плоскости с нитями и параллельны им;

Ф(Л1) =

4Л8,

5.7. Для распределения линейного заряда, заданного в задаче 3.2.1, найдите выражение для потенциала произвольной точки М{Хо,Уо,го).

Ответ, ф =-Y In

5.8. На отрезке прямого провода длиной / равномерно распределен заряд с линейной плотностью у= = 10 - Кл/м. Какую работу необходимо совершить, чтобы перенести точечный заряд q=\Q- Кл вдоль прямой, которая проходит через отрезок провода из точки, отстояи;ей на расстоянии I от его конца, в точку, удаленную на расстояние 21 от того же конца?

Ответ. Л=-(/Yln - ; -2,59.10 - Дж. 4я8о 4

5.9. Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных колец одинакового радиуса R находятся на расстоянии а друг от друга. Работа, которую необходимо совершить, чтобы перенести точечный заряд q из бесконечности в центр каждого из колец, равна соответственно Ах и А. Найдите величину зарядов на кольцах.

Ответ. Q, = 4neo-y {АУR+a -AJi).

5.10. Тонкое круглое кольцо радиуса R состоит из двух равномерно и противоположно заряженных полуколец с зарядами Q и -Q. Найдите потенциал и напряженность электростатического поля на оси кольца. Каков характер поля на больших расстояниях от кольца?

Ответ. В системе отсчета, выбранной так, чтобы положительно заряженное полукольцо занимало область л:>0 в плоскости XY (рис. 15), имеем