Метод решения. Использование соотношений определяющих величину силы F и момента сил L действующих со стороны внешнего поля Ео на ша! рик и эллипсоид:

F=-(m-V)Eo и Е=[5элХЕо],

где и эл - электрические моменты шарика ц эллипсоида соответственно.

3.4. Определение электроемкости и энергии конденсатора, заполненного однородным изотропным диэлектриком.

Метод решения. Использование соотношения, определяющего электроемкость конденсатора, заполненного одним или несколькими однородными изотропными диэлектриками, и выражения для энергии такого конденсатора.

б) Примеры 1-й тип задач (3.1)

3.1.1. Однородный изотропный диэлектрик с восприимчивостью X, имеющий форму шара, помещен в однородное внешнее поле £ 0. Определите поверхностную плотность наведенных на поверхности диэлектрика зарядов в точке, для которой радиус сферы образует с направлением поля угол 9. Рассмотрите случай, когда сфера является проводником (х->-*оо) (рис. 25).

Решение. По определению a=P,j=P cos В. Так как Р = Зх8о(3 + х)-Ео, то а=3х(3+ + x)~eo£ocos9. Для х-оо получим а=Зео£cos0.

Рис. 26

Рис. 25

3.1.2. Сегнетоэлектрик, имеющий форму цилиндра радиуса R и высотой /, однородно поляризован (р = const) в направлении оси цилиндра вследствие спонтанной поляризации (рис. 26). Вычислите напряженность и потенциал электростатического поля, созданного поляризованным сегнетоэлектриком в точках на оси цилиндра, если его вектор поляриза-цйи равен Р. Для точек внутри цилиндра найдите также значение вектора электрического смещения.

Решение. Электрическое поле сегнетоэлектри-ка мы найдем, если будет известно распределение объемных (р) и поверхностных (о ) связанных электрических зарядов, которые определяются соотношениями

p = divP и а=(п.Р).

Для рассматриваемого сегнетоэлектрика в силу его однородной поляризации (P = const) р = 0, в то время как на торцах цилиндра о-Рп (внешняя среда считается вакуумом и поэтому Р2 = 0).

Таким образом, мы пришли к задаче о поле двух заряженных дисков (см. задачу 5.22). Здесь мы приводим только результаты решения задачи 5.22, заменяя в них о на Р. При \z\>l/2

(фО а = (1 /4я8о) яР{ [ (/ + 2г) 2+ (2/?)Ч- [ {l-2z) Ч-

+ (2/?)2]72} (1/4я8о)2яР, (Е),= (1/4я8о)2яР{{1+2Z) [{1+2Z)+ {2ЯУ]-Ч+

+ (/-2)[(/-2z)2+(2i?)2]~V2}; при z< 2

(фО / = - (1/4я8о) 4яР I г I -ь (1/4я8о) яР{[ {l+2z) 2+ + {2R) 2] V2 [ (/ 2г) 2+ (2/?) 2] 1/2}, (Е) i = - { 1/4я8о) 4яР+ (1/4я8о) 2яР{ (/+ + 2г) [(/+2г)2+ 2Ry]-4+{l-z) [/-2)2+ + (2/?) 2]-1/2}.

По определению D = 8oE+P. Поэтому для г< 2 (DO, = (1/4я) 2яР{(/+2г) [ {l+2z)+{2R)2] -72+ + (/-2z)[(/-2z)2+(2i?)2]-V2}, н для z> 2 (так как в этом случае Р = 0) {0),=го{Е)е.

т. е. вне сегнетоэлектрика вектор электрического сме, щения и вектор напряженности совпадают с точно, стью до постоянного множителя.

П-й тип задач (3.2)

3.2.1. Тонкую пластинку из эбонита (г=3) поме, стили в однородное электростатическое поле напря-женностью Eq-\G В/м так, что плоскость пластин, ки образуют с напраБлееием поля угол в 60°. Найди-те величину и направление векторов р, Е и d в пластине.

Решение. Векторы р, Е и d имеют внутри пластинки одинаковое направле-ние, образующее с плос-костью пластинки угол 30 (см. рис. 27). Учитывая, что P, = x(l+x7V/)-8o£o/, Ei-= {\+yiNi)-E,i, Di={K+l)\ Х(1+хЛ/)-ео£о/, где -факторы формы пластинки, и то, что Ny = Nz=Oy Nx=h а Eox=E(jOOS а, Eoy = s\n а, найдем tgp = P,/P. = e4ga, Р= (б~-1 ) (еО[cos2 а+ (е sin а] VW; tgy=Ey/Ex = e,iga, Е= (еО[cos2 а+ (вО sin а] Vo; ig6 = Dy/Dx = etga, D= [cos2 (e)2 sin2 a] o,

где e = K+l и а=я/6.

Таким образом, P = y = 6 = k/3,

р=2.3-.77ад, £ = 3-7720, D = 7V№.

3.2.2. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком с проницаемостью (8)i, в котором в качестве примеси имеется малая сферическая частица диэлектрика с проницаемостью (82. Определите напряженность поля внуг-ри этой частицы, если до заполнения диэлектриков напряженность поля между пластинами конденсатора была Eq.

Рис. 27