Решение. Расположим систему отсчета так, как показано на рис. 31. Тогда (см. примечания к зада че 3.1.1) компоненты индукции магнитного поля в точке с координатами (О, О, го), созданного узкой полоской, параллельной оси X, шириной dy н с координатой у, будут равны

4я а yil

После интеприрования по у от -а/2 до а/2 получим

В =-±sccc\g-. у 4я а 2zo

Векторный потенциал А найдем из условия В = =rotA.

Тогда

4=-14.

/ J

Примечания,

1) Наиболее интересными частными случаями являются случаи:

а) когда го>а, то 5 =-xo(4я)-l2(2o)-

б) когда 2:о<а, то By-\iQ{An)-2nIa-,

2) Можно определить и в произвольной точке с координатами (О, о, о):

В=-о(4я)-12/а-1 [arctg (а+2уо/22о)+ -f arctg(a-2г/о/2го)], В г = -\1о (4я)-Ча- 1п {[ (г/о-а/2) + (zo) ] [ {у+ + a/2y+{zoy]-}.

3) При интегрировании были использованы табличные интегралы типа

f{y + b)-4y=b-avcig{ylb) Iy{y4b)-dy=2-4n{y+b).

П1-й тип задач (3.3)

3.3.1. По тонкому проводнику, согнутому в виде окружн©сти радиуса R, течет ток /. Механическая прочность проволоки /о. При каком значении индукции магнитного поля, перпендикулярного поверхности круга, произойдет разрыв проволоки.

Решение. На элемент проволоки dl с током / действует сила, равная dF = IBdl.

Проекция этой силы на выбранное направление (например, ось X), проходящее через центр окружности, равна

dF;c=IBR cos ada.

Следовательно, сила, действующая на половину окружности.

FIBR j sit\ada = 2[BR.

-тс/2

В момент разрыва Fx = 2fo. Поэтому B=fo/IR.

3.3.2. На деревянный круглый цилиндр объемом V в один слой намотана катушка, образующая короткий соленоид. По катушке течет ток, поверхностная плотность которого равна К А/м. Определите механический момент, который удерживает цилиндр в равновесии, если он находится во внешнем однородном поле с индукцией Во, образующем угол а с осью цилиндра.

Решение. На катушку длиной dl действует со стороны внешнего поля вращающий момент, равный

dLB = TcRKdlВо sin а. Полный момент будет равен ЬвУКВозта. В условиях равновесия внешний moimcht L = Lb.

4. Контрольные вопросы

4.1. Укажите размерности в единицах системы СИ и CGSM величин линейной, поверхностной и объемной плотностей тока.

4.2. При определении индукции магнитного поля пользуются представлениями о пробном магнитном диполе. Что понимают под этим термином?

4.3. Напишите дифференциальные уравнения для скалярного и векторного потенциалов электростати- iccKoro и магнитостатического полей соответственно, Иа основе которых построены аналогии при решении илосних магнитостатических и электростатических Ддач. Каким граничным условиям удовлетворяют по-

тенциал и напряженность электростатического поля, а также векторный потенциал и индукция магнитно го поля?

4.4. Можно ли магнитное поле электрического то ка описать не векторным, а скалярным потенциалом? Если нельзя, то почему? Если можно, то как это сделать?

5. Задачи для самостоятельного решения

5.1. По тонкому проводнику, согнутому в виде кольца радиуса R, течет ток /. Вычислите индукцию магнитного поля в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии Zq от его центра.

Ответ. B = J .

4Я (i?2+22)3/2

5.2. По тонкому проводнику, согнутому в виде квадратной рамки со стороной а, течет ток /. Вычислите индукцию магнитного поля в точке, лежащей на оси рамки на расстоянии z от ее центра.

Ответ. B = Ji--

5.3. Для создания достаточно однородного магнитного поля используют пару круглых катушек (кольца Гельмгольца) одинакового радиуса и с одинаковыми полными токами (полный ток I=Ni, где

- полное число витков в ка.тушке, а i - ток одного витка). Катушки располагают на расстоянии друг от друга так, чтобы их оои совпадали. Заменив катушки эквивалентными кольцами радиуса R с током /, вычислите индукцию магнитного поля в точке, лежащей на их общей оои на расстоянии Zq от точки О. При каком соотношении между I п R магнитное поле в окрестности точки О будет предельно од-нородным?

Ответ.

+

2) l = R (см. рис. 32), 80