Главная >  Квазистационарные электромагнитные поля 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [ 53 ] 54 55

3. Основные типы задач и методы их решения

а) Классификация

3.1. Зная величины, характеризующие электромагнитное поле в некоторой системе координат, найти соответствующие величины в другой системе координат, движение которой относительно первой известно.

Метод решения. Прямое использование формул преобразования величин, характеризующих электромагнитное поле.

3.2. Величины, характеризующие электромагнитное поле, заданы в некоторой системе координат. Выяснить, существует ли система координат, в которой электромагнитное поле обладает какими-то специфическими свойствами, и если существует, то найти эту систему координат.

Метод решения. Использование инвариантов преобразований Лоренца и формул преобразования величин, характеризующих электромагнитное поле.

б) Примеры

1й тип задач (3.1)

3.1.1. Вблизи поверхности земли имеется электрическое поле, направленное приблизительно вертикально, и магнитное поле, угол которого с вертикалью зависит от широты. Вблизи магнитных полюсов это поле можно считать вертикальным. Какое электромагнитное поле будет наблюдаться в самолете, летящим горизонтально со скоростью v в районе магнитного полюса? Какое поле будет наблюдаться в пикирующем по вертикали самолете?

Решение. Направляя ось Z по вертикали к земле, находим следующее выражение электромагнитного поля в неподвижной системе координат:

В системе координат, связанной с горизонтально летящим в направлении оси X самолетом, имеем

Е\ = Ех = 0, Вх=В=0,



- t)2/c2

- vBx

Таким образом, в первом случае появляются дополнительные электрическое и магнитное поля, направленные перпендикулярно скорости самолета, во втором случае поле остается неизменным.

3.1.2. Найти поле равномерно движущегося точечного заряда е.

Решение. Будем считать заряд покоящимся в начале штрихованной системы координат. Последняя движется в направлении положительных значений х со скоростью V, В штрихованной системе координат поле - кулоновское:

Е = -.т.е.£;= е -1-:

е

су -

4яео (xjyjzfl

2 £ £

4яео (х + у + 7У

Bx-=By=Bz=0.

P E, + vBy r !!ZlLfl~R

В системе координат, связанной с самолетом, пикирующим со скоростью V в направлении отрицательных значений оси Z, имеем



Переход в нештрихованную систему координат осуществляется с помощью формул для преобразования полей и координат. Получаем { = v/c):

Ъ=...±[УХЕ].

П-й тип задач (3.2)

3.2.1. Имеется электромагнитное поле, векторы Е и В в котором взаимно перпендикулярны. Найти такую систему координат, в которой поле принимает простейший вид.

Решение. Примем во внимание инварианты преобразований (E.B)=const, £2-252::= const. Псрвый инвариант равен нулю. Следовательно, во всех других системах координат векторы Е и В должны быть взаимно перпендикулярны либо один из них равен нулю. Одновременное их равенство нулю исключается, так как это означало бы, что в этой системе координат плотность электромагнитной энергии равна нулю.

Из второго инварианта заключаем, что возможны три случая:

а) если £ 2-252о, то существует система координат, в которой 5 = 0 и поле чисто электрическое;

б) если £2 с252<0, то существует система координат, где Е=0 и поле чисто магнитное;

в) если £2-2Д2 о то во всех системах координат присутствует как электрическое, так и магнитное поле, которые взаимно перпендикулярны. Это случай плоской волны.

Для нахождения указанных систем координат и полей необходимо решить уравнения, получающиеся из формул преобразования полей. Пусть поле Е направлено вдоль оси F, а поле В - вдоль оси Z, т. е. Е=(0, Я, 0), В=(0, О, В), Тогда, например, для случая (а) получаем уравнения

B=S=0,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [ 53 ] 54 55