объема, ограниченного поверхностью S. Таким образом, получим

для г < R: £о/ 4лг2 О и £о/ 0;

для R<r<R: £,.4дг2 и =

для г > R: Е,Ащ - - (Qi + Q2) и

Е = Q1 + Q2 4я8о г2

Для определения потенциала используем связь между Е и ф в сферических координатах

Е = -д1дг. Тогда для r<Ri: фоСь

для i?i<r<i?2: ф. = -1.+С2;

4яео г

для ф = L Ll + Cз.

4яео

Постоянные Ci, С2 и Сз определим из условий:

а) при г~>оо: ф2-)-0, отсюда Сз = 0;

б) при г = i?i: Фо, - Ф тогда Q = -!-- + Сд;

4яео К\

в) при г - R\ ф, = ф тогда - + С2 =

1 Ql + Q2

4Я8о 2

Из условий (б) и (в) находим

4Я8о /?2

Подставляя значения Ci, С2 и Сз в выражения для потенциала, получим

4я8о \ Ri R2 J

Для/?,<г<?,: ф,= -1 (- + -й

дляr>?,:cp,= i-A + .

АлЕо г

Заметим, что нулевое значение потенциала (условие а)) можно задать для любой наперед выбранной точки. При этом изменятся только значения постоянных Cl, С2 и Сз.

3.3.2. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R равномерно заряжен по объему с плотностью, заряда р. Найдите выражения для напряженности и потенциала электростатического поля в точке, удаленной на расстояние г от оси цилиндра.

Решение. Напряженность поля заряженного цилиндра найдем, используя симметрию заряда и теорему Остроградского-Гаусса:

,(E-dS) = -l-fpdV.

Выберем в качестве поверхности S, через которую следует определить поток вектора Е, поверхность цилиндра радиуса г и высоты /, имеющего ту же ось, что и заданный цилиндр радиуса R, Из соображений симметрии следует, что во всех точках боковой поверхности цилиндра 5 вектор Е перпендикулярен этой поверхности и имеет одинаковую величину. На торцах же цилиндра S вектор Е параллелен поверхности. Поэтому

)(Е.8)-£,.2яг./,

где Ег - величина напряженности поля в точках на расстоянии г от оси цилиндра.

Для интеграла, стоящего справа, соответственно имеем

8о J J

где h - радиус цилиндрического кольца объемом dV==U27ihdh.

Таким образом, для r<R: Erc ---2ярг;

4Я8о

для Г > /?: Erf,

4лео

Для определения потенциала используем связь между Е и ф в цилиндрических координатах

Тогда для r<R: ф-=

4яео

4Я8о

Постоянные С\ и С2 определим из условий непрерывности потенциала и равенства нулю потенциала в заданной точке, т. е.

при г = 0: ф/==0, отсюда С]=0;

при г г-= R: ф. = ф, тогда = -- д/?2р (2 In- 1).

4яео

Таким образом,

при r<R\ ф/ = -(1/4яео)ря/2;

и при r>R. ф, = -(1/4я8о)р2я/?2;1п(г ?) + 1/2].

/У-й га/г задач (3.4)

3.4.1. В каких точках на расстоянии R от диполя с моментом р величина напряженности электростатического поля будет иметь максимальное и минимальное значения (рис. 7)?

Рис. 7

Рис. 8