Решение. Выберем систему отсчета так, чтобы диполь находился в начале координат, а вектор р был параллелен оси У. Из симметрии задачи следует, что во всех точках круга, полученного сечением плоскости у = const сферы радиуса величина Е будет одинакова. Таким образом, задача сводится к отысканию значений Е в точках круга радиуса R, лежащего в плоскости XY. По определению

Е=(1/4я8о)[3(р.г)г/г5 р 3].

Следовательно, напряженность поля в произвольной точке круга (рис. 7) равна

£ = --sin 26, 4jt£o 2

£,---(3cos6~- 1),

4я8о R

Исследование функции / (0) = (3 cos 64-1) на экстремум показывает, что

при е = 0,я: Е = Еп1ах=(1/4яео)2р ?3;

а при е = я/2, Зя/2: [Е = Е (1/4я8о)р/?

3.4.2. На единицу площади счень тонкой пластинки, имеющей форму диска радиуса R, приходится п диполей {п - постоянная величина). Считая, что все диполи обладают одинаковым днпольным моментом р, направленным перпендикулярно поверхности пластинки, найдите выражения для потенциала и напря-жентости эл©кт1ро1статичес]кого поля в произвольной точке iVI, расположенной на оси диска на расстоянии Z от его центра (рис. 8).

Решение. Выделим на диске кольцо радиуса Л и шириной dh. Тогда все диполи на поверхности этого кольца создадут в точке М одинаковый потенциал, а так как потенциал, созданный одним диполем, равен

1 (РГ) 1 рг

4Я8о 4Я8о (/l2+22p

то потенциал, созданный в точке М всеми диполями кольца dS = 2nhdh,

= in2Khdh = (1 /4л8о) 2nnpzhdh (Л + z)

Отсюда

2ппр

,2,1/2

(Фос==0).

Напряленность поля найдем из соотношения Ег = ~д1дг {Ег = 0).

Тогда

I ЕI 1 /4л8о) 2nRnр (/?2 +z)-l.

V-й тип задач (3.5)

3.5.1. Найдите выражение для собственной энергии заряда, равномерно распределенного с плотностью р внутри сферы радиуса R. Во сколько раз энергия электростатического поля, локализованная в объеме шара, меньше энергии, локализованной вне шара?

Решение. Напряженность поля и потенциал сферы, равномерно заряженной по объему, соответственно равны (см. решение задачи 5.15)

1 Q

для г < R: Е, -

Ф. -

для r>R: Е -

3

4я8о 2 R

1 Q

4Я8о

1 3

4яео

1 Q

4яео

3/?2

где Q = -я р полный заряд внутри сферы.

Так как

4яео 4i

4яео R

2 J 4jt8o

2 J 4яео

3.5.2. Вычислите потенциальную энергию, приходящуюся на один заряд, расположенный в неограниченной линейной цепочке точечных зарядов, величина которых равна q, а знаки чередуются. Расстояние между соседними зарядами ±q равно а (рис. 9).

Решение. Пусть £-энер-}Лм гия одного заряда, например

® У h 4 \ Ч остальных зарядов.

1 *i у 1 > Тогда собственная энергия всей

системы зарядов равна

(где N - общее число зарядов). Следовательно, энергия, приходящаяся на один заряд, равна

tt=(V2)£,

1 /2-2-?- +2-~-2+

4яео

а 2а Za Аа

Таким образом,

й7=-(1/4л8о)?2а-Чп2,

1п2 1-(1/2) + (1/3)-(1/4)+....

VIu тип задач (3.6)

3.6.1. Диполь с моментом р находится на расстоянии г от точечного заряда q. Найдите выражения