Таким образом,

- COS и 9 cos (имц + ф ).

(3.8)

Эффективное значение первой гармоники

(3.9).

и коэффициент преобразования

s=fK.v+ :v.) (....0)

(3.11)

Следовательно, изучаемая параметрическая цень по первой гармонике преобразованного сигнала при т = ВцС Т Q эквивалентна цепи с постоянными параметрами, представленной на рис. 3.3,

ei(0 = a}Al cos2n-

e,(t)

X COS (сйо+ фх) Для произвольного соотношения величин т и Го Ubux (О стационарном режиме работы может быть найдено как частное решение неоднородного дифференциального уравнения,

которым описываются процессы в цепи. Представляя это выход--ное напряжение суммой гармоник, аналогично предыдуш;ему придем к эквивалентной схеме с постоянными параметрами.

Для того, чтобы найти эквивалентную замену для входной цепи как динамическо11 системы, необходимо получить полное решение дифференциального уравнения, которым она описывается нри типовом входном воздействии, например, в виде единичного скачка (функции Хевисайда).

Для схемы рис. 3.1 линейное уравнение первого порядка

/ {t) = т] (О е it), 41

(3.12)

описывающее работу цепи легко выражается в квадратурах c = e-I [U{t)e{t) eiW dt + С],

i?3 + Д (i)

f{t) = 4{t) =

[ЛзЛд + Д (t) (Лз + Дд)]

Трудности исследования входной цепи в общем виде при таком ее рассмотрении очевидны. Известно, например [58], что квадратуры простейших уравнений типа

+ а (1 + m sm ж) г/ = а,

к KOTopoMj приводятся уравнения параметрических цепей первого порядка, находящихся под воздействием постоянного возмущения и при периодическом изменении одного из па-.раметров, выражаются рядами

- fjpamcosx

у = ае

о ><:-] V / /г +

2°° /г/ (am) sin пх 1

i-T~nLa I- (3.13)

Эти выражения протабулированы для ряда значений а и лп и, таким образом, позволяют находить численные решения уравнения [23, 45],

При дискретном характере изменения параметра (3.1) входная цепь может быть описана в двух состояниях (ключ разомкнут, ключ замкнут) соответственно двумя дифферен-щиальными уравнениями:

(3.14)

-т---ггс = е(0, пГ <<пГ + 9; +J-m, = 0, пГ + 9<<(п +1)70-

Их совместное рассмотрение позволяет выразить неизвестные как функцию номера периода, т. е. свести систему к одному разностному уравнению первого порядка. Решая его при использовании, например, дискретного преобразования Лаила-

ca (или, что фактически то же, z-иреобразования) *, можно выразить напряжение на выходе цени в моменты ее переключения [20, 32, 51, 57].

При прави.льном выборе преобразователя сопротивлением замкнутого ключа можно пренебречь, а сопротивление разомкнутого принять бесконечно большим. Тогда

Tl = (i?b + Rn) С;

Та = RaC.

Решением первого уравнения в п-ш период будет

t j t

щ {t) = (м, [п-1]т,+ ~\е (t) е - dt) е ; (3.15)

Решением второго уравнения -

Uc (t) = Uc [п]ве ; (3.16)

пГ -Ь 9 < < (п -М) Го.

Здесь Uc [п - 1]т и Uc 1п]в - напряжения на конденсаторе соответственно в конце га - 1-го периода Го и последуюш,еп части 0 га-го периода. Иначе, это напряжения в конце той части периода, которая предшествует рассматриваемому состоянию цепи. Они являются функцией целочисленного аргумента.

Искомые напряжения, соответствующие моментам переключения, будут функциями номера периода

пГ,+9 ( 9

Mclnje = (мс [п-1]т, + 4- S e{t)edi)e ;

Г.-9

Мс [га]г. = Мс [п]в е .

Припасовывая решения в конце промежутков 9, получим разностное уравнение относительно напряжения па конденсаторе для моментов, соответствующих концу периода,

Мс []г. - Мс [га - 1]т, е =

5 е ( ) е dt. (3.17)

----

* См. п. 3. 2.